Comment exprimer un vecteur comme combinaison linéaire d'autres vecteurs ?

En exploitant les propriétés géométriques de la figure (milieu, parallélisme, relation de Chasles) pour identifier les coefficients directement

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans le triangle $ABC$ , $M$ est le milieu de $[BC]$ . Exprimer $\vec{AM}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .

La méthode

1
J'identifie les vecteurs de référence $\vec{u}$ et $\vec{v}$ disponibles dans la figure (par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ).
2
J'applique la relation de Chasles pour décomposer le vecteur cible en passant par des points connus : $\vec{XY} = \vec{XA} + \vec{AY}$ .
3
J'utilise les propriétés de la figure (milieu : $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$ ; parallélisme : $\vec{CD} = k\vec{AB}$ ) pour exprimer chaque morceau en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .
4
Je simplifie et je lis directement les coefficients de la combinaison linéaire.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ , $M$ est le milieu de $[BC]$ . Exprimer $\vec{AM}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .

1

Les vecteurs de référence sont $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AC}$ .

2

J'applique Chasles : $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$ .

3

$M$ est le milieu de $[BC]$ donc $\vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB})$ .

4

Je simplifie : $\vec{AM} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$ .

$\vec{AM} = \dfrac{1}{2}\vec{AB} + \dfrac{1}{2}\vec{AC}$

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