Comment exprimer un vecteur comme combinaison linéaire d'autres vecteurs ? | MetMat

Comment exprimer un vecteur comme combinaison linéaire d'autres vecteurs ?

En exploitant les propriétés géométriques de la figure (milieu, parallélisme, relation de Chasles) pour identifier les coefficients directement

Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire en utilisant directement la géométrie de la figure plutôt qu'un système algébrique.

L'objectif

Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire en utilisant directement la géométrie de la figure plutôt qu'un système algébrique.

Le principe

La relation de Chasles permet de décomposer tout vecteur en passant par des points intermédiaires, et les propriétés de milieu ou de parallélisme fixent les coefficients.

La méthode

1
J'identifie les vecteurs de référence $\vec{u}$ et $\vec{v}$ disponibles dans la figure (par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ).
2
J'applique la relation de Chasles pour décomposer le vecteur cible en passant par des points connus : $\vec{XY} = \vec{XA} + \vec{AY}$ .
3
J'utilise les propriétés de la figure (milieu : $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$ ; parallélisme : $\vec{CD} = k\vec{AB}$ ) pour exprimer chaque morceau en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .
4
Je simplifie et je lis directement les coefficients de la combinaison linéaire.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ , $M$ est le milieu de $[BC]$ . Exprimer $\vec{AM}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .

Étape 1 —

J'identifie les vecteurs de référence

\vec{u}

\vec{v}

disponibles dans la figure (par exemple

\vec{AB}

\vec{AC}

Les vecteurs de référence sont $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AC}$ .

Étape 2 —

J'applique la relation de Chasles pour décomposer le vecteur cible en passant par des points connus :

\vec{XY} = \vec{XA} + \vec{AY}

J'applique Chasles : $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$ .

Étape 3 —

J'utilise les propriétés de la figure (milieu :

\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}

; parallélisme :

\vec{CD} = k\vec{AB}

) pour exprimer chaque morceau en fonction de

\vec{u}

\vec{v}

$M$ est le milieu de $[BC]$ donc $\vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB})$ .

Étape 4 —

Je simplifie et je lis directement les coefficients de la combinaison linéaire.

Je simplifie : $\vec{AM} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$ .

$\vec{AM} = \dfrac{1}{2}\vec{AB} + \dfrac{1}{2}\vec{AC}$

Application guidée

Dans le parallélogramme $ABCD$ , exprimer $\vec{AC}$ et $\vec{BD}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AD}$ .

Application autonome 1

Dans le triangle $ABC$ , $D$ est le point tel que $\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$ . Exprimer $\vec{CD}$ en fonction de $\vec{CA}$ et $\vec{CB}$ .

Application autonome 2

Dans un tétraèdre $ABCD$ , $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[CD]$ . Exprimer $\vec{MN}$ en fonction de $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$ .

Application autonome 3

$ABCD$ est un parallélogramme. $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ est le point tel que $\vec{DJ} = \dfrac{1}{3}\vec{DC}$ . Exprimer $\vec{IJ}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AD}$ .

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