Comment identifier une asymptote horizontale ou verticale à partir d'une limite ? | MetMat

Comment identifier une asymptote horizontale ou verticale à partir d'une limite ?

En identifiant un point $a$ où $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ : la droite $x = a$ est asymptote verticale à la courbe

Identifier les asymptotes verticales d'une courbe en cherchant les points où la fonction diverge.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$ . Déterminer l'asymptote verticale.

L'objectif

Identifier les asymptotes verticales d'une courbe en cherchant les points où la fonction diverge.

Le principe

La droite $x = a$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$ ; cela se produit aux zéros du dénominateur (pour une fraction), en $0$ pour $\ln x$ , ou aux bornes du domaine.

La méthode

1
Déterminer le domaine de définition de $f$ et identifier les points exclus : zéros du dénominateur, points où $\ln$ ou $\sqrt{}$ s'annulent, etc.
2
Pour chaque point $a$ suspect, calculer $\lim_{x \to a^+} f(x)$ et $\lim_{x \to a^-} f(x)$ (en tenant compte du signe du dénominateur selon le côté d'approche).
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ?Voir
3
Vérifier que l'une (au moins) de ces limites est $+\infty$ ou $-\infty$ .
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Conclure : «La droite $x = a$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ .»

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$ . Déterminer l'asymptote verticale.

Étape 1 —

Déterminer le domaine de définition de

f

et identifier les points exclus : zéros du dénominateur, points où

\ln

\sqrt{}

s'annulent, etc.

Le dénominateur $x - 3$ s'annule en $x = 3$ . Le domaine est $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ .

Étape 2 —

Pour chaque point

a

suspect, calculer

\lim_{x \to a^+} f(x)

\lim_{x \to a^-} f(x)

(en tenant compte du signe du dénominateur selon le côté d'approche).

Pour $x \to 3^+$ : $x - 3 > 0$ et tend vers $0^+$ , donc $\dfrac{1}{x-3} \to +\infty$ . Pour $x \to 3^-$ : $x - 3 < 0$ et tend vers $0^-$ , donc $\dfrac{1}{x-3} \to -\infty$ .

Étape 3 —

Vérifier que l'une (au moins) de ces limites est

+\infty

-\infty

Les deux limites sont infinies.

Étape 4 —

Conclure : «La droite

x = a

est asymptote verticale à la courbe de

f

.»

La droite $x = 3$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ .

$x = 3$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ .

Application guidée

Soit $f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 4}$ . Déterminer les asymptotes verticales.

Application autonome 1

Soit $f(x) = \ln(x - 1)$ . Déterminer l'asymptote verticale.

Application autonome 2

Soit $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$ . Étudier le comportement en $x = 0$ .

Application autonome 3

Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{(x - 1)^2}$ . Déterminer les asymptotes verticales.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En identifiant un point aaa où lim⁡x→af(x)=±∞\lim_{x \to a} f(x) = \pm\inftylimx→a​f(x)=±∞ : la droite x=ax = ax=a est asymptote verticale à la courbe

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant un point $a$ où $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ : la droite $x = a$ est asymptote verticale à la courbe