Comment identifier une asymptote horizontale ou verticale à partir d'une limite ?

En identifiant un point $a$ où $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ : la droite $x = a$ est asymptote verticale à la courbe

L'objectif

Identifier les asymptotes verticales d'une courbe en cherchant les points où la fonction diverge.

Le principe

La droite $x = a$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$ ; cela se produit aux zéros du dénominateur (pour une fraction), en $0$ pour $\ln x$ , ou aux bornes du domaine.

La méthode

1
Déterminer le domaine de définition de $f$ et identifier les points exclus : zéros du dénominateur, points où $\ln$ ou $\sqrt{}$ s'annulent, etc.
2
Pour chaque point $a$ suspect, calculer $\lim_{x \to a^+} f(x)$ et $\lim_{x \to a^-} f(x)$ (en tenant compte du signe du dénominateur selon le côté d'approche).
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ?Voir
3
Vérifier que l'une (au moins) de ces limites est $+\infty$ ou $-\infty$ .
4
Conclure : «La droite $x = a$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ .»

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En identifiant un point aaa où lim⁡x→af(x)=±∞\lim_{x \to a} f(x) = \pm\inftylimx→a​f(x)=±∞ : la droite x=ax = ax=a est asymptote verticale à la courbe

Exemple corrigé

En identifiant un point $a$ où $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ : la droite $x = a$ est asymptote verticale à la courbe