Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ? | MetMat

Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ?

En invoquant la continuité d'une fonction usuelle en un point (la limite est égale à la valeur de la fonction en ce point)

Calculer la limite d'une fonction continue en un point sans calcul intermédiaire, par substitution directe.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{x \to 2} (x^3 - 3x + 1)$ .

L'objectif

Calculer la limite d'une fonction continue en un point sans calcul intermédiaire, par substitution directe.

Le principe

Toute fonction continue en $a$ vérifie $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ; les fonctions polynômes, rationnelles (hors annulation du dénominateur), $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , $\sqrt{}$ sont continues sur leur domaine de définition.

La méthode

1
Identifier la fonction $f$ et le point $a$ vers lequel $x$ tend.
2
Vérifier que $f$ est une fonction usuelle continue en $a$ (polynôme, fraction rationnelle avec dénominateur non nul en $a$ , $\exp$ , $\ln$ avec $a > 0$ , etc.).
3
Calculer $f(a)$ par substitution directe de $x = a$ .
4
Conclure : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to 2} (x^3 - 3x + 1)$ .

Étape 1 —

Identifier la fonction

f

et le point

a

vers lequel

x

tend.

On calcule la limite de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ en $a = 2$ .

Étape 2 —

Vérifier que

f

est une fonction usuelle continue en

a

(polynôme, fraction rationnelle avec dénominateur non nul en

a

\exp

\ln

avec

a > 0

, etc.).

$f$ est un polynôme, continu en tout point.

Étape 3 —

Calculer

f(a)

par substitution directe de

x = a

$f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ .

Étape 4 —

Conclure :

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

$\lim_{x \to 2} (x^3 - 3x + 1) = 3$ .

$\lim_{x \to 2} (x^3 - 3x + 1) = 3$

Application guidée

Calculer $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 1}{x + 2}$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x \to 1} e^{x^2 - 1}$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x \to e} \ln(x^2)$ .

Application autonome 3

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 4} \sqrt{x^2 + 9}$ .

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