Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ?

En invoquant la continuité d'une fonction usuelle en un point (la limite est égale à la valeur de la fonction en ce point)

L'objectif

Calculer la limite d'une fonction continue en un point sans calcul intermédiaire, par substitution directe.

Le principe

Toute fonction continue en $a$ vérifie $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ; les fonctions polynômes, rationnelles (hors annulation du dénominateur), $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , $\sqrt{}$ sont continues sur leur domaine de définition.

La méthode

1
Identifier la fonction $f$ et le point $a$ vers lequel $x$ tend.
2
Vérifier que $f$ est une fonction usuelle continue en $a$ (polynôme, fraction rationnelle avec dénominateur non nul en $a$ , $\exp$ , $\ln$ avec $a > 0$ , etc.).
3
Calculer $f(a)$ par substitution directe de $x = a$ .
4
Conclure : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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