Comment résoudre l'équation différentielle $y' = ay + b$ ( $a \neq 0$ ) ?

En cherchant d'abord la solution particulière constante $y_p = -b/a$ (en posant $y' = 0$ ), puis en écrivant la solution générale $y = Ce^{ax} + y_p$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $y' = 2y - 6$ sur $\mathbb{R}$ .

La méthode

1
Chercher une solution particulière constante $y_p$ en posant $y' = 0$ dans l'équation : $0 = ay_p + b$ , d'où $y_p = -\dfrac{b}{a}$ .
2
Écrire la solution générale de l'équation homogène associée $y' = ay$ : $y_h = Ce^{ax}$ , $C \in \mathbb{R}$ .
Comment résoudre l'équation différentielle $y' = ay$ ?Voir
3
Écrire la solution générale de l'équation complète : $y(x) = Ce^{ax} + y_p = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$ .
4
Si une condition initiale $y(x_0) = y_0$ est donnée, substituer pour trouver $C$ , puis écrire la solution particulière et vérifier.
Comment déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale ?Voir

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Résoudre $y' = 2y - 6$ sur $\mathbb{R}$ .

1

Solution particulière constante : $0 = 2y_p - 6 \Rightarrow y_p = 3$ .

2

Solution générale de l'homogène $y' = 2y$ : $y_h = Ce^{2x}$ , $C \in \mathbb{R}$ .

3

Solution générale de l'équation complète : $y(x) = Ce^{2x} + 3$ , $C \in \mathbb{R}$ .

4

Vérification : $y'(x) = 2Ce^{2x}$ et $2y - 6 = 2(Ce^{2x}+3)-6 = 2Ce^{2x}$ ✓. La solution générale est $y = Ce^{2x} + 3$ .

$y(x) = Ce^{2x} + 3$ , $C \in \mathbb{R}$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment résoudre l'équation différentielle y′=ay+by' = ay + by′=ay+b (a≠0a \neq 0a=0) ?

En cherchant d'abord la solution particulière constante yp=−b/ay_p = -b/ayp​=−b/a (en posant y′=0y' = 0y′=0), puis en écrivant la solution générale y=Ceax+ypy = Ce^{ax} + y_py=Ceax+yp​

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment résoudre l'équation différentielle $y' = ay + b$ ( $a \neq 0$ ) ?

En cherchant d'abord la solution particulière constante $y_p = -b/a$ (en posant $y' = 0$ ), puis en écrivant la solution générale $y = Ce^{ax} + y_p$