Comment résoudre l'équation différentielle $y' = ay + b$ ( $a \neq 0$ ) ?

En cherchant d'abord la solution particulière constante $y_p = -b/a$ (en posant $y' = 0$ ), puis en écrivant la solution générale $y = Ce^{ax} + y_p$

L'objectif

Résoudre complètement $y' = ay + b$ avec $a \neq 0$ , en trouvant d'abord une solution particulière constante puis la solution générale.

Le principe

La solution générale de $y' = ay + b$ est la somme de la solution particulière constante $y_p = -\dfrac{b}{a}$ (qui annule $y'$ ) et de la solution générale $Ce^{ax}$ de l'équation homogène $y' = ay$ .

La méthode

1
Chercher une solution particulière constante $y_p$ en posant $y' = 0$ dans l'équation : $0 = ay_p + b$ , d'où $y_p = -\dfrac{b}{a}$ .
2
Écrire la solution générale de l'équation homogène associée $y' = ay$ : $y_h = Ce^{ax}$ , $C \in \mathbb{R}$ .
Comment résoudre l'équation différentielle $y' = ay$ ?Voir
3
Écrire la solution générale de l'équation complète : $y(x) = Ce^{ax} + y_p = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$ .
4
Si une condition initiale $y(x_0) = y_0$ est donnée, substituer pour trouver $C$ , puis écrire la solution particulière et vérifier.
Comment déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En cherchant d'abord la solution particulière constante yp=−b/ay_p = -b/ayp​=−b/a (en posant y′=0y' = 0y′=0), puis en écrivant la solution générale y=Ceax+ypy = Ce^{ax} + y_py=Ceax+yp​

Exemple corrigé

En cherchant d'abord la solution particulière constante $y_p = -b/a$ (en posant $y' = 0$ ), puis en écrivant la solution générale $y = Ce^{ax} + y_p$