En cherchant d'abord la solution particulière constante $y_p = -b/a$ (en posant $y' = 0$ ), puis en écrivant la solution générale $y = Ce^{ax} + y_p$

Résoudre complètement $y' = ay + b$ avec $a \neq 0$ , en trouvant d'abord une solution particulière constante puis la solution générale.

L'objectif

Résoudre complètement $y' = ay + b$ avec $a \neq 0$ , en trouvant d'abord une solution particulière constante puis la solution générale.

Le principe

La solution générale de $y' = ay + b$ est la somme de la solution particulière constante $y_p = -\dfrac{b}{a}$ (qui annule $y'$ ) et de la solution générale $Ce^{ax}$ de l'équation homogène $y' = ay$ .

La méthode

1
Chercher une solution particulière constante $y_p$ en posant $y' = 0$ dans l'équation : $0 = ay_p + b$ , d'où $y_p = -\dfrac{b}{a}$ .
2
Écrire la solution générale de l'équation homogène associée $y' = ay$ : $y_h = Ce^{ax}$ , $C \in \mathbb{R}$ .
Comment résoudre l'équation différentielle $y' = ay$ ?Voir
3
Écrire la solution générale de l'équation complète : $y(x) = Ce^{ax} + y_p = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$ .
4
Si une condition initiale $y(x_0) = y_0$ est donnée, substituer pour trouver $C$ , puis écrire la solution particulière et vérifier.
Comment déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $y' = 2y - 6$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Chercher une solution particulière constante

y_p

en posant

y' = 0

dans l'équation :

0 = ay_p + b

, d'où

y_p = -\dfrac{b}{a}

Solution particulière constante : $0 = 2y_p - 6 \Rightarrow y_p = 3$ .

Étape 2 —

Écrire la solution générale de l'équation homogène associée

y' = ay

y_h = Ce^{ax}

C \in \mathbb{R}

Solution générale de l'homogène $y' = 2y$ : $y_h = Ce^{2x}$ , $C \in \mathbb{R}$ .

Étape 3 —

Écrire la solution générale de l'équation complète :

y(x) = Ce^{ax} + y_p = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}

Solution générale de l'équation complète : $y(x) = Ce^{2x} + 3$ , $C \in \mathbb{R}$ .

Étape 4 —

Si une condition initiale

y(x_0) = y_0

est donnée, substituer pour trouver

C

, puis écrire la solution particulière et vérifier.

Vérification : $y'(x) = 2Ce^{2x}$ et $2y - 6 = 2(Ce^{2x}+3)-6 = 2Ce^{2x}$ ✓. La solution générale est $y = Ce^{2x} + 3$ .

$y(x) = Ce^{2x} + 3$ , $C \in \mathbb{R}$

Application guidée

Résoudre $y' = -y + 4$ avec $y(0) = 1$ .

Application autonome 1

Un objet se refroidit selon la loi $T'(t) = -0{,}2(T(t) - 20)$ avec $T(0) = 80$ (températures en °C, $t$ en minutes). Exprimer $T(t)$ .

Application autonome 2

Une population $P(t)$ croît selon $P'(t) = 0{,}05P(t) + 100$ avec $P(0) = 2000$ . Exprimer $P(t)$ .

Application autonome 3

Résoudre $y' = 3y + 9$ avec $y(0) = -3$ .

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En cherchant d'abord la solution particulière constante yp=−b/ay_p = -b/ayp​=−b/a (en posant y′=0y' = 0y′=0), puis en écrivant la solution générale y=Ceax+ypy = Ce^{ax} + y_py=Ceax+yp​

Pour comprendre, fais des exercices !

En cherchant d'abord la solution particulière constante $y_p = -b/a$ (en posant $y' = 0$ ), puis en écrivant la solution générale $y = Ce^{ax} + y_p$