Comment calculer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite ? | MetMat

Comment calculer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

En paramétrant la droite, en exprimant $\vec{M_0H}\cdot\vec{u}=0$ , puis en résolvant pour $t$

Calculer les coordonnées du pied $H$ de la perpendiculaire abaissée du point $M_0$ sur la droite $d$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer le projeté orthogonal de $M_0(0, 2, 1)$ sur la droite $d : \begin{cases} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 2t \end{cases}$ .

L'objectif

Calculer les coordonnées du pied $H$ de la perpendiculaire abaissée du point $M_0$ sur la droite $d$ .

Le principe

$H$ est le point de $d$ tel que $\overrightarrow{M_0H} \perp \vec{u}$ , soit $\overrightarrow{M_0H} \cdot \vec{u} = 0$ .

La méthode

1
Écrire les coordonnées de $H$ en fonction du paramètre $t$ en utilisant la représentation paramétrique de la droite $d$ .
2
Calculer le vecteur $\overrightarrow{M_0H}$ en fonction de $t$ .
3
Écrire et résoudre l'équation $\overrightarrow{M_0H} \cdot \vec{u} = 0$ pour trouver la valeur de $t$ .
Comment démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs ?Voir
4
Substituer la valeur de $t$ dans la représentation paramétrique pour obtenir les coordonnées de $H$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer le projeté orthogonal de $M_0(0, 2, 1)$ sur la droite $d : \begin{cases} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 2t \end{cases}$ .

Étape 1 —

Écrire les coordonnées de

H

en fonction du paramètre

t

en utilisant la représentation paramétrique de la droite

d

$H(t, 1+t, 2t)$ avec $\vec{u}(1, 1, 2)$ .

Étape 2 —

Calculer le vecteur

\overrightarrow{M_0H}

en fonction de

t

$\overrightarrow{M_0H} = (t-0, 1+t-2, 2t-1) = (t, t-1, 2t-1)$ .

Étape 3 —

Écrire et résoudre l'équation

\overrightarrow{M_0H} \cdot \vec{u} = 0

pour trouver la valeur de

t

$\overrightarrow{M_0H} \cdot \vec{u} = t + (t-1) + 2(2t-1) = t + t - 1 + 4t - 2 = 6t - 3 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{1}{2}$ .

Étape 4 —

Substituer la valeur de

t

dans la représentation paramétrique pour obtenir les coordonnées de

H

$H = \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}, 1\right)$ .

$H\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}, 1\right)$

Application guidée

Calculer le projeté orthogonal de $M_0(1, 0, 0)$ sur la droite $d : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 3t \end{cases}$ .

Application autonome 1

Calculer le projeté orthogonal de $M_0(3, 1, 2)$ sur la droite $d$ passant par $A(1, 0, 1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1, 1, 1)$ .

Application autonome 2

Calculer le projeté orthogonal de $M_0(2, 3, 1)$ sur la droite $d : \begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = -1 + t \end{cases}$ , et en déduire la distance de $M_0$ à $d$ .

Application autonome 3

Calculer le projeté orthogonal de $M_0(0, 0, 0)$ sur la droite $d$ passant par $A(2, 1, 3)$ et $B(4, 3, 2)$ .

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En paramétrant la droite, en exprimant M0H⃗⋅u⃗=0\vec{M_0H}\cdot\vec{u}=0M0​H​⋅u=0, puis en résolvant pour ttt

Pour comprendre, fais des exercices !

En paramétrant la droite, en exprimant $\vec{M_0H}\cdot\vec{u}=0$ , puis en résolvant pour $t$