Comment interpréter une intégrale dans un contexte concret ?

En identifiant ce que représente $f(x)$ dans le contexte (débit, vitesse, densité, coût marginal...) et en interprétant $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ comme la quantité totale accumulée sur $[a,b]$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un objet se déplace en ligne droite avec une vitesse $v(t) = 3t^2 - 2t$ (en m/s) pour $t \in [0, 3]$ (en secondes). Calculer le déplacement de l'objet sur $[1, 3]$ .

La méthode

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Identifier la grandeur représentée par $f(x)$ : préciser ses unités et ce qu'elle mesure (vitesse en m/s, débit en L/h, coût marginal en \text{€}/unité...).
2
Identifier les bornes $a$ et $b$ et leur signification dans le contexte (instants, quantités produites, distances...).
3
Calculer l'intégrale $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ à l'aide d'une primitive.
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir
4
Interpréter le résultat dans le contexte en précisant les unités et la signification physique, économique ou biologique de la valeur obtenue.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Un objet se déplace en ligne droite avec une vitesse $v(t) = 3t^2 - 2t$ (en m/s) pour $t \in [0, 3]$ (en secondes). Calculer le déplacement de l'objet sur $[1, 3]$ .

1

$v(t)$ est la vitesse (en m/s) ; $\int_1^3 v(t)\,\mathrm{d}t$ donnera le déplacement (en mètres) de $t = 1$ s à $t = 3$ s.

2

Les bornes $a = 1$ s et $b = 3$ s délimitent l'intervalle de temps considéré.

3

$\int_1^3 (3t^2 - 2t)\,\mathrm{d}t = [t^3 - t^2]_1^3 = (27 - 9) - (1 - 1) = 18$ .

4

Le déplacement de l'objet entre $t = 1$ s et $t = 3$ s est de $18$ m (en sens positif).

$18$ m

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Comment interpréter une intégrale dans un contexte concret ?

En identifiant ce que représente f(x)f(x)f(x) dans le contexte (débit, vitesse, densité, coût marginal...) et en interprétant ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x∫ab​f(x)dx comme la quantité totale accumulée sur [a,b][a,b][a,b]

Pour comprendre, passons aux exercices.

En identifiant ce que représente $f(x)$ dans le contexte (débit, vitesse, densité, coût marginal...) et en interprétant $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ comme la quantité totale accumulée sur $[a,b]$