En posant $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ et en résolvant le système d'équations sur les coordonnées

Soient $\vec{u} = (1, 2)$ et $\vec{v} = (3, 1)$. Exprimer $\vec{w} = (7, 5)$ comme combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Soient $\vec{u} = (1, 0)$ et $\vec{v} = (0, 1)$. Exprimer $\vec{w} = (4, -3)$ comme combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Dans l'espace, soient $\vec{u} = (1, 0, 1)$, $\vec{v} = (0, 1, 1)$ et $\vec{w} = (3, 2, 5)$. Vérifier que $\vec{w}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et trouver les coefficients.

Soient $\vec{u} = (2, 1, 0)$, $\vec{v} = (1, -1, 3)$ et $\vec{w} = (1, 4, -6)$. Montrer que $\vec{w}$ n'est pas combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Soient $\vec{u} = (1, 3)$ et $\vec{v} = (2, -1)$. Exprimer $\vec{w} = (5, 4)$ comme combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.