Comment exprimer un vecteur comme combinaison linéaire d'autres vecteurs ?

En posant $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ et en résolvant le système d'équations sur les coordonnées

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $\vec{u} = (1, 2)$ et $\vec{v} = (3, 1)$ . Exprimer $\vec{w} = (7, 5)$ comme combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

La méthode

1
Je pose $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ et j'écris les coordonnées de chaque vecteur.
2
J'identifie les coordonnées : j'obtiens un système de 2 (ou 3) équations à 2 inconnues $\alpha$ et $\beta$ .
3
Je résous le système (substitution ou opérations sur les lignes) pour trouver $\alpha$ et $\beta$ .
4
Si le système est compatible, je conclus en écrivant $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ avec les valeurs trouvées ; sinon, $\vec{w}$ n'est pas combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soient $\vec{u} = (1, 2)$ et $\vec{v} = (3, 1)$ . Exprimer $\vec{w} = (7, 5)$ comme combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

1

Je pose $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ , soit $(7, 5) = \alpha(1, 2) + \beta(3, 1)$ .

2

J'identifie les coordonnées : $\begin{cases} \alpha + 3\beta = 7 \\ 2\alpha + \beta = 5 \end{cases}$ .

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$L_2 - 2L_1$ donne $-5\beta = -9$ , donc $\beta = \dfrac{9}{5}$ . Puis $\alpha = 7 - 3 \times \dfrac{9}{5} = \dfrac{8}{5}$ .

4

Je conclus : $\vec{w} = \frac{8}{5}\vec{u} + \frac{9}{5}\vec{v}$ .

$\vec{w} = \dfrac{8}{5}\vec{u} + \dfrac{9}{5}\vec{v}$

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Pour comprendre, passons aux exercices.

En posant $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ et en résolvant le système d'équations sur les coordonnées