Comment étudier le comportement d'une suite géométrique $(q^n)$ ?

En distinguant les cas : $|q|<1$ (limite $0$ ), $q=1$ (limite $1$ ), $q>1$ (diverge vers $+\infty$ ), $q \leq -1$ (pas de limite)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier le comportement de la suite $u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ .

La méthode

1
Identifier la raison $q$ de la suite géométrique (en écrivant éventuellement $u_n = u_0 \cdot q^n$ ).
2
Situer $q$ par rapport aux valeurs-clés $-1$ , $0$ , $1$ : calculer $|q|$ et déterminer le signe de $q$ .
3
Appliquer le résultat de cours correspondant au cas identifié : $|q| < 1 \Rightarrow q^n \to 0$ ; $q = 1 \Rightarrow q^n = 1$ ; $q > 1 \Rightarrow q^n \to +\infty$ ; $q \leq -1 \Rightarrow$ pas de limite.
4
Conclure en précisant éventuellement le comportement qualitatif de $u_n = u_0 \cdot q^n$ (convergence vers $0$ , stationnarité, divergence, oscillation).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Étudier le comportement de la suite $u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ .

1

La raison est $q = \frac{1}{2}$ .

2

$|q| = \frac{1}{2} < 1$ et $q > 0$ .

3

On est dans le cas $|q| < 1$ , donc $q^n \to 0$ .

4

La suite converge vers $0$ : $u_n \to 0$ en restant strictement positive et en décroissant.

$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment modéliser et étudier un phénomène d'évolution par une suite ?

Comment étudier le comportement d'une suite géométrique (qn)(q^n)(qn) ?

En distinguant les cas : ∣q∣<1|q|<1∣q∣<1 (limite 000), q=1q=1q=1 (limite 111), q>1q>1q>1 (diverge vers +∞+\infty+∞), q≤−1q \leq -1q≤−1 (pas de limite)

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment étudier le comportement d'une suite géométrique $(q^n)$ ?

En distinguant les cas : $|q|<1$ (limite $0$ ), $q=1$ (limite $1$ ), $q>1$ (diverge vers $+\infty$ ), $q \leq -1$ (pas de limite)