Comment étudier le comportement d'une suite géométrique $(q^n)$ ?

En distinguant les cas : $|q|<1$ (limite $0$ ), $q=1$ (limite $1$ ), $q>1$ (diverge vers $+\infty$ ), $q \leq -1$ (pas de limite)

L'objectif

Déterminer le comportement à l'infini d'une suite géométrique $(q^n)$ selon la valeur de sa raison $q$ .

Le principe

Le comportement de $(q^n)$ dépend entièrement de $q$ : si $|q| < 1$ alors $q^n \to 0$ ; si $q = 1$ alors $q^n = 1$ ; si $q > 1$ alors $q^n \to +\infty$ ; si $q \leq -1$ la suite n'a pas de limite.

La méthode

1
J'identifie la raison $q$ de la suite géométrique (en écrivant éventuellement $u_n = u_0 \cdot q^n$ ).
2
Je situe $q$ par rapport aux valeurs-clés $-1$ , $0$ , $1$ : je calcule $|q|$ et je détermine le signe de $q$ .
3
J'applique le résultat de cours correspondant au cas identifié : $|q| < 1 \Rightarrow q^n \to 0$ ; $q = 1 \Rightarrow q^n = 1$ ; $q > 1 \Rightarrow q^n \to +\infty$ ; $q \leq -1 \Rightarrow$ pas de limite.
4
Je conclude en précisant éventuellement le comportement qualitatif de $u_n = u_0 \cdot q^n$ (convergence vers $0$ , stationnarité, divergence, oscillation).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En distinguant les cas : ∣q∣<1|q|<1∣q∣<1 (limite 000), q=1q=1q=1 (limite 111), q>1q>1q>1 (diverge vers +∞+\infty+∞), q≤−1q \leq -1q≤−1 (pas de limite)

Exemple corrigé

En distinguant les cas : $|q|<1$ (limite $0$ ), $q=1$ (limite $1$ ), $q>1$ (diverge vers $+\infty$ ), $q \leq -1$ (pas de limite)