Comment utiliser une solution particulière pour résoudre $y' = ay + f$ ? | MetMat

Comment utiliser une solution particulière pour résoudre $y' = ay + f$ ?

En posant $z = y - y_p$ (où $y_p$ est la solution particulière donnée), en montrant que $z' = az$ , puis en écrivant $y = Ce^{ax} + y_p$

Résoudre $y' = ay + f(x)$ en exploitant une solution particulière $y_p$ (non nécessairement constante) pour ramener le problème à l'équation homogène.

L'objectif

Résoudre $y' = ay + f(x)$ en exploitant une solution particulière $y_p$ (non nécessairement constante) pour ramener le problème à l'équation homogène.

Le principe

Si $y_p$ est une solution particulière de $y' = ay + f$ , le changement de fonction $z = y - y_p$ donne $z' = y' - y_p' = (ay + f) - (ay_p + f) = a(y - y_p) = az$ , donc $z$ vérifie l'équation homogène $z' = az$ .

La méthode

1
Vérifier (ou admettre) que $y_p$ est bien une solution particulière de $y' = ay + f$ en calculant $y_p'$ et en vérifiant $y_p' = ay_p + f$ .
2
Poser $z = y - y_p$ , calculer $z' = y' - y_p'$ et montrer que $z' = az$ : $z' = (ay+f) - (ay_p+f) = a(y-y_p) = az$ .
3
Résoudre $z' = az$ : $z(x) = Ce^{ax}$ , $C \in \mathbb{R}$ .
Comment résoudre l'équation différentielle $y' = ay$ ?Voir
4
En déduire $y = z + y_p = Ce^{ax} + y_p(x)$ . Si une condition initiale est donnée, substituer pour trouver $C$ et vérifier.
Comment déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $y' = 2y + x$ en admettant que $y_p(x) = -\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}$ est une solution particulière.

Étape 1 —

Vérifier (ou admettre) que

y_p

est bien une solution particulière de

y' = ay + f

en calculant

y_p'

et en vérifiant

y_p' = ay_p + f

Vérification : $y_p'(x) = -\dfrac{1}{2}$ et $2y_p + x = 2\left(-\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}\right)+x = -x - \dfrac{1}{2} + x = -\dfrac{1}{2}$ ✓.

Étape 2 —

Poser

z = y - y_p

, calculer

z' = y' - y_p'

et montrer que

z' = az

z' = (ay+f) - (ay_p+f) = a(y-y_p) = az

On pose $z = y - y_p$ . Alors $z' = y' - y_p' = (2y+x) - (2y_p+x) = 2(y-y_p) = 2z$ .

Étape 3 —

Résoudre

z' = az

z(x) = Ce^{ax}

C \in \mathbb{R}

On résout $z' = 2z$ : $z(x) = Ce^{2x}$ , $C \in \mathbb{R}$ .

Étape 4 —

En déduire

y = z + y_p = Ce^{ax} + y_p(x)

. Si une condition initiale est donnée, substituer pour trouver

C

et vérifier.

On en déduit $y(x) = Ce^{2x} + y_p(x) = Ce^{2x} - \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}$ , $C \in \mathbb{R}$ .

$y(x) = Ce^{2x} - \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}$ , $C \in \mathbb{R}$

Application guidée

Résoudre $y' = y + e^{2x}$ en admettant que $y_p(x) = e^{2x}$ est une solution particulière. Donner la solution vérifiant $y(0) = 3$ .

Application autonome 1

Résoudre $y' = -y + \cos x$ en admettant que $y_p(x) = \dfrac{\cos x + \sin x}{2}$ est une solution particulière.

Application autonome 2

Résoudre $y' = 3y - 2x + 1$ en admettant que $y_p(x) = \dfrac{2x}{3} - \dfrac{1}{9}$ est une solution particulière, avec $y(0) = 0$ .

Application autonome 3

Résoudre $y' = -2y + 4e^{x}$ en admettant que $y_p(x) = \dfrac{4}{3}e^{x}$ est une solution particulière, avec $y(0) = 2$ .

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En posant z=y−ypz = y - y_pz=y−yp​ (où ypy_pyp​ est la solution particulière donnée), en montrant que z′=azz' = azz′=az, puis en écrivant y=Ceax+ypy = Ce^{ax} + y_py=Ceax+yp​

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $z = y - y_p$ (où $y_p$ est la solution particulière donnée), en montrant que $z' = az$ , puis en écrivant $y = Ce^{ax} + y_p$