Comment utiliser une solution particulière pour résoudre $y' = ay + f$ ?

En posant $z = y - y_p$ (où $y_p$ est la solution particulière donnée), en montrant que $z' = az$ , puis en écrivant $y = Ce^{ax} + y_p$

L'objectif

Résoudre $y' = ay + f(x)$ en exploitant une solution particulière $y_p$ (non nécessairement constante) pour ramener le problème à l'équation homogène.

Le principe

Si $y_p$ est une solution particulière de $y' = ay + f$ , le changement de fonction $z = y - y_p$ donne $z' = y' - y_p' = (ay + f) - (ay_p + f) = a(y - y_p) = az$ , donc $z$ vérifie l'équation homogène $z' = az$ .

La méthode

1
Vérifier (ou admettre) que $y_p$ est bien une solution particulière de $y' = ay + f$ en calculant $y_p'$ et en vérifiant $y_p' = ay_p + f$ .
2
Poser $z = y - y_p$ , calculer $z' = y' - y_p'$ et montrer que $z' = az$ : $z' = (ay+f) - (ay_p+f) = a(y-y_p) = az$ .
3
Résoudre $z' = az$ : $z(x) = Ce^{ax}$ , $C \in \mathbb{R}$ .
Comment résoudre l'équation différentielle $y' = ay$ ?Voir
4
En déduire $y = z + y_p = Ce^{ax} + y_p(x)$ . Si une condition initiale est donnée, substituer pour trouver $C$ et vérifier.
Comment déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En posant z=y−ypz = y - y_pz=y−yp​ (où ypy_pyp​ est la solution particulière donnée), en montrant que z′=azz' = azz′=az, puis en écrivant y=Ceax+ypy = Ce^{ax} + y_py=Ceax+yp​

Exemple corrigé

En posant $z = y - y_p$ (où $y_p$ est la solution particulière donnée), en montrant que $z' = az$ , puis en écrivant $y = Ce^{ax} + y_p$