Comment démontrer une propriété d'une suite par récurrence ?

En initialisant au rang de base, en supposant la propriété vraie au rang $n$ (hypothèse de récurrence), puis en la démontrant au rang $n+1$

L'objectif

Démontrer qu'une propriété $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ .

Le principe

Le principe de récurrence affirme que si $\mathcal{P}(n_0)$ est vraie (initialisation) et si $\mathcal{P}(n) \Rightarrow \mathcal{P}(n+1)$ pour tout $n \geq n_0$ (hérédité), alors $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

La méthode

1
Initialisation : vérifier que la propriété $\mathcal{P}(n_0)$ est vraie au rang de départ $n_0$ (souvent $n_0 = 0$ ou $n_0 = 1$ ).
2
Hypothèse de récurrence (H.R.) : supposer que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour un certain $n \geq n_0$ fixé (énoncer clairement cette hypothèse).
3
Hérédité : montrer que $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie en utilisant l'hypothèse de récurrence et les relations vérifiées par la suite.
4
Conclusion : par le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En initialisant au rang de base, en supposant la propriété vraie au rang nnn (hypothèse de récurrence), puis en la démontrant au rang n+1n+1n+1

Exemple corrigé

En initialisant au rang de base, en supposant la propriété vraie au rang $n$ (hypothèse de récurrence), puis en la démontrant au rang $n+1$