Comment démontrer une propriété d'une suite par récurrence ?

En initialisant au rang de base, en supposant la propriété vraie au rang $n$ (hypothèse de récurrence), puis en la démontrant au rang $n+1$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Démontrer que $2^n \geq n + 1$ pour tout entier $n \geq 0$ .

La méthode

1
Initialisation : vérifier que la propriété $\mathcal{P}(n_0)$ est vraie au rang de départ $n_0$ (souvent $n_0 = 0$ ou $n_0 = 1$ ).
2
Hypothèse de récurrence (H.R.) : supposer que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour un certain $n \geq n_0$ fixé (énoncer clairement cette hypothèse).
3
Hérédité : montrer que $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie en utilisant l'hypothèse de récurrence et les relations vérifiées par la suite.
4
Conclusion : par le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Démontrer que $2^n \geq n + 1$ pour tout entier $n \geq 0$ .

1

Initialisation : pour $n = 0$ , $2^0 = 1$ et $0 + 1 = 1$ . On a $1 \geq 1$ . \checkmark

2

H.R. : supposons que pour un certain $n \geq 0$ , on a $2^n \geq n + 1$ .

3

Hérédité : montrons que $2^{n+1} \geq (n+1) + 1 = n + 2$ . On a $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \geq 2(n+1) = 2n + 2 \geq n + 2$ (car $n \geq 0$ implique $2n + 2 \geq n + 2$ ).

4

Conclusion : par le principe de récurrence, $2^n \geq n + 1$ pour tout $n \geq 0$ .

$2^n \geq n + 1$ pour tout $n \geq 0$ .

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Comment démontrer une propriété d'une suite par récurrence ?

En initialisant au rang de base, en supposant la propriété vraie au rang nnn (hypothèse de récurrence), puis en la démontrant au rang n+1n+1n+1

Pour comprendre, passons aux exercices.

En initialisant au rang de base, en supposant la propriété vraie au rang $n$ (hypothèse de récurrence), puis en la démontrant au rang $n+1$