Comment utiliser les croissances comparées de $\ln$ et des puissances pour calculer une limite ? | MetMat

Comment utiliser les croissances comparées de $\ln$ et des puissances pour calculer une limite ?

En appliquant la hiérarchie $\ln x \ll x^n \ll e^x$ en $+\infty$ : écrire la limite comme un quotient dont on connaît le comportement

Déterminer le comportement dominant d'une expression en $+\infty$ grâce à la hiérarchie des fonctions.

L'objectif

Déterminer le comportement dominant d'une expression en $+\infty$ grâce à la hiérarchie des fonctions.

Le principe

En $+\infty$ , on a la hiérarchie $\ln x \ll x^\alpha \ll e^x$ pour tout $\alpha > 0$ : toute puissance de $x$ l'emporte sur $\ln x$ , et $e^x$ l'emporte sur toute puissance.

La méthode

1
Repérer les fonctions en présence : $\ln x$ , puissances $x^n$ , $e^x$ , et identifier les termes dominants en $+\infty$ .
2
Mettre l'expression sous forme de quotient (si ce n'est pas déjà le cas) ou factoriser par le terme dominant.
3
Appliquer la hiérarchie : $\dfrac{\ln x}{x^\alpha} \to 0$ , $\dfrac{x^n}{e^x} \to 0$ , $\dfrac{\ln x}{e^x} \to 0$ en $+\infty$ .
4
Conclure sur le comportement de l'expression et donner la valeur de la limite.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}$ .

Étape 1 —

Repérer les fonctions en présence :

\ln x

, puissances

x^n

e^x

, et identifier les termes dominants en

+\infty

On est en présence de $\ln x$ au numérateur et $x = x^1$ au dénominateur.

Étape 2 —

Mettre l'expression sous forme de quotient (si ce n'est pas déjà le cas) ou factoriser par le terme dominant.

On identifie $\dfrac{\ln x}{x^\alpha}$ avec $\alpha = 1 > 0$ : le théorème de croissances comparées s'applique directement.

Étape 3 —

Appliquer la hiérarchie :

\dfrac{\ln x}{x^\alpha} \to 0

\dfrac{x^n}{e^x} \to 0

\dfrac{\ln x}{e^x} \to 0

+\infty

Par la hiérarchie, $x^1$ l'emporte sur $\ln x$ en $+\infty$ : $\dfrac{\ln x}{x^\alpha} \to 0$ pour $\alpha = 1 > 0$ .

Étape 4 —

Conclure sur le comportement de l'expression et donner la valeur de la limite.

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ .

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$

Application guidée

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3}{e^x}$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\ln x - \sqrt{x})$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + \ln x}{x^2 - 1}$ .

Application autonome 3

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^{10}}$ .

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En appliquant la hiérarchie ln⁡x≪xn≪ex\ln x \ll x^n \ll e^xlnx≪xn≪ex en +∞+\infty+∞ : écrire la limite comme un quotient dont on connaît le comportement

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant la hiérarchie $\ln x \ll x^n \ll e^x$ en $+\infty$ : écrire la limite comme un quotient dont on connaît le comportement