En construisant le triangle ligne par ligne pour lire des coefficients binomiaux

Construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne $n$ pour lire les coefficients $\binom{n}{k}$ sans calcul de factorielles.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Construire le triangle de Pascal jusqu'à $n = 4$ et en déduire $\binom{4}{2}$ .

L'objectif

Construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne $n$ pour lire les coefficients $\binom{n}{k}$ sans calcul de factorielles.

Le principe

Chaque entrée du triangle vaut la somme des deux entrées qui la surplombent ; les bords valent toujours $1$ .

La méthode

1
Initialiser : écrire la ligne $n=0$ : $1$ ; ligne $n=1$ : $1 \quad 1$ ; les bords de chaque ligne sont tous égaux à $1$ .
2
Construire chaque ligne suivante en appliquant $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ : chaque valeur intérieure est la somme des deux valeurs de la ligne précédente situées juste au-dessus à gauche et à droite.
3
Lire le coefficient $\binom{n}{k}$ sur la ligne $n$ (numérotée à partir de $0$ ), à la position $k$ (numérotée à partir de $0$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Construire le triangle de Pascal jusqu'à $n = 4$ et en déduire $\binom{4}{2}$ .

Étape 1 —

Initialiser : écrire la ligne

n=0

1

; ligne

n=1

1 \quad 1

; les bords de chaque ligne sont tous égaux à

1

Lignes $0$ à $2$ : $1$ ; $1\;1$ ; $1\;2\;1$ (bords à $1$ , valeur centrale $1+1=2$ ).

Étape 2 —

Construire chaque ligne suivante en appliquant

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

: chaque valeur intérieure est la somme des deux valeurs de la ligne précédente situées juste au-dessus à gauche et à droite.

Ligne $3$ : $1$ , $1+2=3$ , $2+1=3$ , $1$ , soit $1\;3\;3\;1$ . Ligne $4$ : $1$ , $1+3=4$ , $3+3=6$ , $3+1=4$ , $1$ , soit $1\;4\;6\;4\;1$ .

Étape 3 —

Lire le coefficient

\binom{n}{k}

sur la ligne

n

(numérotée à partir de

0

), à la position

k

(numérotée à partir de

0

Sur la ligne $4$ , à la position $k=2$ : $\binom{4}{2} = 6$ .

$\binom{4}{2} = 6$

Application guidée

Construire le triangle de Pascal jusqu'à $n = 5$ et lire tous les coefficients $\binom{5}{k}$ .

Application autonome 1

Retrouver le développement de $(a+b)^4$ à l'aide du triangle de Pascal.

Application autonome 2

Construire le triangle de Pascal jusqu'à $n = 6$ et en déduire $\dbinom{6}{3}$ .

Application autonome 3

Utiliser le triangle de Pascal pour retrouver le développement de $(a+b)^5$ .

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