Comment étudier le sens de variation d'une suite (croissante, décroissante) ? | MetMat

Comment étudier le sens de variation d'une suite (croissante, décroissante) ?

En étudiant le signe de $u_{n+1} - u_n$

Déterminer si une suite est croissante, décroissante ou ni l'un ni l'autre.

L'objectif

Déterminer si une suite est croissante, décroissante ou ni l'un ni l'autre.

Le principe

Une suite $(u_n)$ est croissante si et seulement si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n$ , et décroissante si et seulement si $u_{n+1} - u_n \leq 0$ pour tout $n$ .

La méthode

1
Calculer l'expression $u_{n+1} - u_n$ en substituant l'expression de $u_{n+1}$ et en développant/simplifiant.
2
Factoriser ou mettre en évidence la structure de cette différence pour pouvoir étudier son signe.
3
Déterminer le signe de $u_{n+1} - u_n$ en fonction de $n$ (pour $n \geq 0$ ou $n \geq n_0$ ). Si le signe est constant, conclure sur la monotonie ; si le signe change, la suite n'est pas monotone.
4
Conclure : si $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout $n$ , la suite est strictement croissante ; si $u_{n+1} - u_n < 0$ , elle est strictement décroissante.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier le sens de variation de la suite définie par $u_n = 3n - 5$ .

Étape 1 —

Calculer l'expression

u_{n+1} - u_n

en substituant l'expression de

u_{n+1}

et en développant/simplifiant.

$u_{n+1} - u_n = [3(n+1) - 5] - [3n - 5] = 3n + 3 - 5 - 3n + 5 = 3$ .

Étape 2 —

Factoriser ou mettre en évidence la structure de cette différence pour pouvoir étudier son signe.

La différence vaut $3$ , qui est une constante strictement positive.

Étape 3 —

Déterminer le signe de

u_{n+1} - u_n

en fonction de

n

(pour

n \geq 0

n \geq n_0

). Si le signe est constant, conclure sur la monotonie ; si le signe change, la suite n'est pas monotone.

Le signe est positif pour tout $n \geq 0$ .

Étape 4 —

Conclure : si

u_{n+1} - u_n > 0

pour tout

n

, la suite est strictement croissante ; si

u_{n+1} - u_n < 0

, elle est strictement décroissante.

La suite est strictement croissante.

La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Application guidée

Étudier le sens de variation de la suite définie par $u_n = n^2 - 4n + 1$ pour $n \geq 0$ .

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1$ . Étudier la monotonie.

Application autonome 2

Étudier la monotonie de la suite $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ .

Application autonome 3

Étudier la monotonie de la suite $u_n = (-1)^n$ pour $n \geq 0$ .

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En étudiant le signe de un+1−unu_{n+1} - u_nun+1​−un​

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En étudiant le signe de $u_{n+1} - u_n$