Comment calculer $P(X = k)$ pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ? | MetMat

Comment calculer $P(X = k)$ pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ?

En appliquant $P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Calculer $P(X = k)$ pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ .

L'objectif

Calculer $P(X = k)$ pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ .

Le principe

Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ , alors pour tout $k \in \{0, 1, \ldots, n\}$ : $P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ , où $\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ est le nombre de façons de choisir $k$ succès parmi $n$ épreuves.

La méthode

1
Identifier les paramètres $n$ (nombre d'épreuves) et $p$ (probabilité de succès à chaque épreuve), et vérifier que $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ .
2
Calculer le coefficient binomial $\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ .
Comment calculer un coefficient binomial $\binom{n}{k}$ ?Voir
3
Calculer $p^k$ et $(1-p)^{n-k}$ .
4
Multiplier les trois facteurs : $P(X = k) = \dbinom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{B}(10 ; 0{,}3)$ . Calculer $P(X = 3)$ .

Étape 1 —

Identifier les paramètres

n

(nombre d'épreuves) et

p

(probabilité de succès à chaque épreuve), et vérifier que

X \sim \mathcal{B}(n, p)

$n = 10$ , $p = 0{,}3$ , $k = 3$ . $X$ suit bien $\mathcal{B}(10 ; 0{,}3)$ .

Étape 2 —

Calculer le coefficient binomial

\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

$\dbinom{10}{3} = \dfrac{10!}{3! \times 7!} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .

Étape 3 —

Calculer

p^k

(1-p)^{n-k}

$p^3 = (0{,}3)^3 = 0{,}027$ ; $(1-p)^{7} = (0{,}7)^7 \approx 0{,}0824$ .

Étape 4 —

Multiplier les trois facteurs :

P(X = k) = \dbinom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}

$P(X = 3) = 120 \times 0{,}027 \times 0{,}0824 \approx 0{,}2668$ .

$P(X = 3) \approx 0{,}267$

Application guidée

Soit $X \sim \mathcal{B}\!\left(5 ; \dfrac{1}{3}\right)$ . Calculer $P(X = 2)$ .

Application autonome 1

On répète $7$ fois une épreuve où la probabilité de succès est $0{,}4$ . Quelle est la probabilité d'obtenir exactement $0$ succès ?

Application autonome 2

Soit $X \sim \mathcal{B}(10 ; 0{,}3)$ . Calculer $P(X = 10)$ .

Application autonome 3

Soit $X \sim \mathcal{B}(8 ; 0{,}25)$ . Calculer $P(X = 2)$ .

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En appliquant P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}P(X=k)=(kn​)pk(1−p)n−k

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En appliquant $P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$