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Comment calculer P(X=k)P(X = k) pour une loi binomiale B(n,p)\mathcal{B}(n, p) ?

En appliquant P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

L'objectif

Calculer P(X=k)P(X = k) pour une variable aléatoire XX suivant une loi binomiale B(n,p)\mathcal{B}(n, p).

Le principe

Si X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p), alors pour tout k∈{0,1,…,n}k \in \{0, 1, \ldots, n\} : P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, où (nk)=n!k!(n−k)!\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} est le nombre de façons de choisir kk succès parmi nn épreuves.

La méthode
  1. 1
    J'identifie les paramètres nn (nombre d'épreuves) et pp (probabilité de succès à chaque épreuve), et je vérifie que X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p).
  2. 2
    Je calcule le coefficient binomial (nk)=n!k!(n−k)!\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}.
    Voir
  3. 3
    Je calcule pkp^k et (1−p)n−k(1-p)^{n-k}.
  4. 4
    Je multiplie les trois facteurs : P(X=k)=(nk)×pk×(1−p)n−kP(X = k) = \dbinom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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