Comment démontrer que deux… : En calculant le produit scalaire de leurs… — Tle spé maths | MetMat

Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires dans l'espace ?

En calculant le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs et en montrant qu'il est nul

Démontrer que deux droites $d_1$ et $d_2$ sont perpendiculaires en montrant que leurs vecteurs directeurs ont un produit scalaire nul.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Exemple 1 — Droites sécantes perpendiculaires

L'objectif

Démontrer que deux droites $d_1$ et $d_2$ sont perpendiculaires en montrant que leurs vecteurs directeurs ont un produit scalaire nul.

Le principe

Deux droites sont perpendiculaires dans l'espace si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux ( $\vec{u_1}\cdot\vec{u_2} = 0$ ), qu'elles se coupent ou non. C'est une différence fondamentale avec le plan : dans l'espace, des droites perpendiculaires peuvent être « gauches » (non coplanaires).

La méthode

1
Identifier (ou lire) un vecteur directeur $\vec{u_1}$ de la droite $d_1$ et un vecteur directeur $\vec{u_2}$ de la droite $d_2$ .
2
Calculer le produit scalaire $\vec{u_1}\cdot\vec{u_2} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$ .
Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?Voir
3
Si $\vec{u_1}\cdot\vec{u_2} = 0$ , conclure que $d_1 \perp d_2$ . Préciser si nécessaire que les droites peuvent ne pas se couper (droites gauches perpendiculaires).
Comment démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Exemple 1 — Droites sécantes perpendiculaires

Étape 1 —

Identifier (ou lire) un vecteur directeur

\vec{u_1}

de la droite

d_1

et un vecteur directeur

\vec{u_2}

de la droite

d_2

Droite $d_1$ passant par $A(0;0;0)$ de vecteur directeur $\vec{u_1}(1;0;0)$ , droite $d_2$ passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{u_2}(0;1;0)$ .

Étape 2 —

Calculer le produit scalaire

\vec{u_1}\cdot\vec{u_2} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2

On calcule : $\vec{u_1}\cdot\vec{u_2} = 1\times 0 + 0\times 1 + 0\times 0 = 0$ .

Étape 3 —

\vec{u_1}\cdot\vec{u_2} = 0

, conclure que

d_1 \perp d_2

. Préciser si nécessaire que les droites peuvent ne pas se couper (droites gauches perpendiculaires).

Donc $d_1 \perp d_2$ : les droites sont perpendiculaires et se coupent en $A$ (cas classique).

$d_1 \perp d_2$ (droites sécantes perpendiculaires).

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