Comment démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan ?

En identifiant que le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan

L'objectif

Démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan en montrant que son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal $(a;b;c)$ du plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ .

Le principe

Le vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ d'un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ est orthogonal à tout vecteur du plan. Une droite de direction $\lambda\vec{n}$ (colinéaire à $\vec{n}$ ) est donc orthogonale au plan.

La méthode

1
Lire l'équation cartésienne du plan $ax+by+cz+d=0$ et identifier le vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ .
2
Identifier le vecteur directeur $\vec{d}$ de la droite.
3
Vérifier que $\vec{d}$ est colinéaire à $\vec{n}$ , c'est-à-dire qu'il existe $\lambda$ tel que $\vec{d} = \lambda\vec{n}$ (les coordonnées sont proportionnelles).
Comment vérifier si des vecteurs sont colinéaires ?Voir
4
Conclure que la droite est orthogonale au plan.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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