En identifiant que le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan

Démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan en montrant que son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal $(a;b;c)$ du plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ .

L'objectif

Démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan en montrant que son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal $(a;b;c)$ du plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ .

Le principe

Le vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ d'un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ est orthogonal à tout vecteur du plan. Une droite de direction $\lambda\vec{n}$ (colinéaire à $\vec{n}$ ) est donc orthogonale au plan.

La méthode

1
Lire l'équation cartésienne du plan $ax+by+cz+d=0$ et identifier le vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ .
2
Identifier le vecteur directeur $\vec{d}$ de la droite.
3
Vérifier que $\vec{d}$ est colinéaire à $\vec{n}$ , c'est-à-dire qu'il existe $\lambda$ tel que $\vec{d} = \lambda\vec{n}$ (les coordonnées sont proportionnelles).
Comment vérifier si des vecteurs sont colinéaires ?Voir
4
Conclure que la droite est orthogonale au plan.

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Exercice d'exemple

Exemple 1 — Plan $2x - y + 3z = 5$

Étape 1 —

Lire l'équation cartésienne du plan

ax+by+cz+d=0

et identifier le vecteur normal

\vec{n}(a;b;c)

Plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 3z - 5 = 0$ : vecteur normal $\vec{n}(2;-1;3)$ .

Étape 2 —

Identifier le vecteur directeur

\vec{d}

de la droite.

Droite $d$ de direction $\vec{d}(4;-2;6)$ .

Étape 3 —

Vérifier que

\vec{d}

est colinéaire à

\vec{n}

, c'est-à-dire qu'il existe

\lambda

tel que

\vec{d} = \lambda\vec{n}

(les coordonnées sont proportionnelles).

On vérifie : $\vec{d} = 2\vec{n}$ car $(4;-2;6) = 2\times(2;-1;3)$ . Les vecteurs sont bien colinéaires.

Étape 4 —

Conclure que la droite est orthogonale au plan.

Donc la droite $d$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ .

La droite $d$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ .

Application guidée

Exemple 2 — Plan $x + y + z = 1$

Application autonome 1

Exemple 3 — Construction du vecteur normal à partir de la droite

Application autonome 2

Exemple 4 — Face d'un cube et sa perpendiculaire

Application autonome 3

Exemple 5 — Vérification de non-orthogonalité

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