Comment démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan ?

En identifiant que le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Exemple 1 — Plan $2x - y + 3z = 5$

La méthode

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Lire l'équation cartésienne du plan $ax+by+cz+d=0$ et identifier le vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ .
2
Identifier le vecteur directeur $\vec{d}$ de la droite.
3
Vérifier que $\vec{d}$ est colinéaire à $\vec{n}$ , c'est-à-dire qu'il existe $\lambda$ tel que $\vec{d} = \lambda\vec{n}$ (les coordonnées sont proportionnelles).
Comment vérifier si des vecteurs sont colinéaires ?Voir
4
Conclure que la droite est orthogonale au plan.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Exemple 1 — Plan $2x - y + 3z = 5$

1

Plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 3z - 5 = 0$ : vecteur normal $\vec{n}(2;-1;3)$ .

2

Droite $d$ de direction $\vec{d}(4;-2;6)$ .

3

On vérifie : $\vec{d} = 2\vec{n}$ car $(4;-2;6) = 2\times(2;-1;3)$ . Les vecteurs sont bien colinéaires.

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Donc la droite $d$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ .

La droite $d$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ .

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