Comment vérifier qu'une fonction est continue en un point ?

En calculant $\lim_{x \to a} f(x)$ et en vérifiant qu'elle est égale à $f(a)$

L'objectif

Vérifier qu'une fonction $f$ est continue en un point $a$ en s'assurant que $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Le principe

Une fonction $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ; pour une fonction définie par morceaux, il faut vérifier que les limites à gauche et à droite en $a$ sont toutes deux égales à $f(a)$ .

La méthode

1
Je calcule $f(a)$ (valeur de la fonction au point $a$ ).
2
Je calcule $\lim_{x \to a} f(x)$ . Si $f$ est définie par morceaux avec $a$ comme point de raccord, je calcule séparément $\lim_{x \to a^-} f(x)$ (limite à gauche) et $\lim_{x \to a^+} f(x)$ (limite à droite).
3
Je compare : si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (ou si les deux limites latérales sont égales entre elles et égales à $f(a)$ ), je conclus que $f$ est continue en $a$ . Sinon, $f$ est discontinue en $a$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En calculant lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x)limx→a​f(x) et en vérifiant qu'elle est égale à f(a)f(a)f(a)

Exemple corrigé

En calculant $\lim_{x \to a} f(x)$ et en vérifiant qu'elle est égale à $f(a)$