Comment vérifier qu'une fonction est continue en un point ?

En calculant $\lim_{x \to a} f(x)$ et en vérifiant qu'elle est égale à $f(a)$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f(x) = 2x + 1$ . Vérifier que $f$ est continue en $a = 3$ .

La méthode

1
Calculer $f(a)$ (valeur de la fonction au point $a$ ).
2
Calculer $\lim_{x \to a} f(x)$ . Si $f$ est définie par morceaux avec $a$ comme point de raccord, calculer séparément $\lim_{x \to a^-} f(x)$ (limite à gauche) et $\lim_{x \to a^+} f(x)$ (limite à droite).
3
Comparer : si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (ou si les deux limites latérales sont égales entre elles et égales à $f(a)$ ), conclure que $f$ est continue en $a$ . Sinon, $f$ est discontinue en $a$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $f(x) = 2x + 1$ . Vérifier que $f$ est continue en $a = 3$ .

1

$f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$ .

2

$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (2x + 1) = 7$ .

3

$\lim_{x \to 3} f(x) = 7 = f(3)$ , donc $f$ est continue en $3$ .

$f$ est continue en $3$ .

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Comment vérifier qu'une fonction est continue en un point ?

En calculant lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x)limx→a​f(x) et en vérifiant qu'elle est égale à f(a)f(a)f(a)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En calculant $\lim_{x \to a} f(x)$ et en vérifiant qu'elle est égale à $f(a)$