Comment résoudre un problème de seuil avec une loi binomiale ?

$X \sim \mathcal{B}(25\,;\,0{,}08)$. On cherche le plus petit $k$ tel que $P(X \leq k) \geq 0{,}95$. On calcule les probabilités cumulées en partant de $k = 0$.

$P(X = 0) = (0{,}92)^{25} \approx 0{,}1258$. Donc $P(X \leq 0) \approx 0{,}126 < 0{,}95$.

On calcule successivement :
$P(X = 1) = 25 \times 0{,}08 \times (0{,}92)^{24} \approx 0{,}2740$, d'où $P(X \leq 1) \approx 0{,}400$.
$P(X = 2) = \binom{25}{2}(0{,}08)^2(0{,}92)^{23} \approx 0{,}2850$, d'où $P(X \leq 2) \approx 0{,}685$.
$P(X = 3) = \binom{25}{3}(0{,}08)^3(0{,}92)^{22} \approx 0{,}1879$, d'où $P(X \leq 3) \approx 0{,}873$.
$P(X = 4) = \binom{25}{4}(0{,}08)^4(0{,}92)^{21} \approx 0{,}0888$, d'où $P(X \leq 4) \approx 0{,}962 \geq 0{,}95$.

Le premier $k$ pour lequel $P(X \leq k) \geq 0{,}95$ est $k = 4$. Avec $P(X \leq 3) \approx 0{,}873 < 0{,}95$ et $P(X \leq 4) \approx 0{,}962 \geq 0{,}95$.