En montrant que le vecteur directeur de la droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan

Démontrer qu'une droite de direction $\vec{d}$ est orthogonale à un plan en montrant $\vec{d}\cdot\vec{u} = 0$ et $\vec{d}\cdot\vec{v} = 0$ pour deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ , $\vec{v}$ du plan.

L'objectif

Le principe

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

La méthode

1
Identifier un vecteur directeur $\vec{d}$ de la droite.
2
Trouver deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires appartenant au plan (par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ si $A$ , $B$ , $C$ sont dans le plan).
3
Calculer $\vec{d}\cdot\vec{u}$ et $\vec{d}\cdot\vec{v}$ .
Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?Voir
4
Si $\vec{d}\cdot\vec{u} = 0$ et $\vec{d}\cdot\vec{v} = 0$ , conclure que la droite est orthogonale au plan.
Comment démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs ?Voir

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Exercice d'exemple

Exemple 1 — Hauteur d'un triangle dans l'espace

Étape 1 —

Identifier un vecteur directeur

\vec{d}

de la droite.

Triangle $ABC$ avec $A(1;2;0)$ , $B(3;0;1)$ , $C(0;1;2)$ . On cherche si la droite passant par $A$ de direction $\vec{d}(1;1;1)$ est orthogonale au plan $(ABC)$ .

Étape 2 —

Trouver deux vecteurs

\vec{u}

\vec{v}

non colinéaires appartenant au plan (par exemple

\vec{AB}

\vec{AC}

A

B

C

sont dans le plan).

Deux vecteurs du plan : $\vec{AB}(2;-2;1)$ et $\vec{AC}(-1;-1;2)$ .

Étape 3 —

Calculer

\vec{d}\cdot\vec{u}

\vec{d}\cdot\vec{v}

$\vec{d}\cdot\vec{AB} = 1\times 2 + 1\times(-2) + 1\times 1 = 2 - 2 + 1 = 1 \neq 0$ . La droite n'est pas orthogonale au plan.

Étape 4 —

\vec{d}\cdot\vec{u} = 0

\vec{d}\cdot\vec{v} = 0

, conclure que la droite est orthogonale au plan.

Conclusion : la direction $\vec{d}(1;1;1)$ n'est pas orthogonale au plan $(ABC)$ puisque $\vec{d}\cdot\vec{AB} \neq 0$ .

La droite de direction $\vec{d}(1;1;1)$ n'est pas orthogonale au plan $(ABC)$ .

Application guidée

Exemple 2 — Grande diagonale d'un cube orthogonale à aucune face

Application autonome 1

Exemple 3 — Hauteur issue d'un sommet d'un tétraèdre

Application autonome 2

Exemple 4 — Orthocentre dans un tétraèdre

Application autonome 3

Exemple 5 — Vérification avec le plan de base d'une pyramide

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