Comment démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan ?

En montrant que le vecteur directeur de la droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan

L'objectif

Démontrer qu'une droite de direction $\vec{d}$ est orthogonale à un plan en montrant $\vec{d}\cdot\vec{u} = 0$ et $\vec{d}\cdot\vec{v} = 0$ pour deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ , $\vec{v}$ du plan.

Le principe

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

La méthode

1
Identifier un vecteur directeur $\vec{d}$ de la droite.
2
Trouver deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires appartenant au plan (par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ si $A$ , $B$ , $C$ sont dans le plan).
3
Calculer $\vec{d}\cdot\vec{u}$ et $\vec{d}\cdot\vec{v}$ .
Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?Voir
4
Si $\vec{d}\cdot\vec{u} = 0$ et $\vec{d}\cdot\vec{v} = 0$ , conclure que la droite est orthogonale au plan.
Comment démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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