Comment étudier l'alignement ou la coplanarité de points ?

En montrant que $\vec{AD}$ est combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ pour la coplanarité de A, B, C, D

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Les points $A(1,0,0)$ , $B(0,1,0)$ , $C(0,0,1)$ et $D(1,1,1)$ sont-ils coplanaires ?

La méthode

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Je calcule les coordonnées de $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$ .
2
Je pose $\vec{AD} = \alpha\vec{AB} + \beta\vec{AC}$ et j'identifie les coordonnées pour obtenir un système de 3 équations à 2 inconnues $\alpha$ et $\beta$ .
Comment exprimer un vecteur comme combinaison linéaire d'autres vecteurs ?Voir
3
Je résous le système avec les deux premières équations, puis je vérifie si les valeurs trouvées satisfont la troisième.
4
Si le système est compatible, les quatre points sont coplanaires ; sinon, ils ne le sont pas.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Les points $A(1,0,0)$ , $B(0,1,0)$ , $C(0,0,1)$ et $D(1,1,1)$ sont-ils coplanaires ?

1

$\vec{AB} = (-1,1,0)$ , $\vec{AC} = (-1,0,1)$ , $\vec{AD} = (0,1,1)$ .

2

Je pose $(0,1,1) = \alpha(-1,1,0) + \beta(-1,0,1)$ : $\begin{cases} -\alpha - \beta = 0 \\ \alpha = 1 \\ \beta = 1 \end{cases}$ .

3

Des équations 2 et 3 : $\alpha = 1$ et $\beta = 1$ . Vérification dans l'équation 1 : $-1 - 1 = -2 \neq 0$ . Système incompatible.

4

$\vec{AD}$ n'est pas combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ : les quatre points ne sont pas coplanaires.

$A$ , $B$ , $C$ , $D$ ne sont pas coplanaires.

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En montrant que AD⃗\vec{AD}AD est combinaison linéaire de AB⃗\vec{AB}AB et AC⃗\vec{AC}AC pour la coplanarité de A, B, C, D

Pour comprendre, passons aux exercices.

En montrant que $\vec{AD}$ est combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ pour la coplanarité de A, B, C, D