En vérifiant si les vecteurs normaux sont colinéaires (plans parallèles ou confondus), sinon les plans sont sécants selon une droite

Déterminer si deux plans sont parallèles, confondus ou sécants en comparant leurs vecteurs normaux, et trouver la droite d'intersection si nécessaire.

L'objectif

Déterminer si deux plans sont parallèles, confondus ou sécants en comparant leurs vecteurs normaux, et trouver la droite d'intersection si nécessaire.

Le principe

Deux plans sont parallèles (ou confondus) si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires ; sinon, ils se coupent selon une droite.

La méthode

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Je lis les vecteurs normaux $\vec{n_1} = (a_1, b_1, c_1)$ et $\vec{n_2} = (a_2, b_2, c_2)$ à partir des équations cartésiennes $a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1$ et $a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2$ .
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Je teste si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires. Si oui, les plans sont parallèles (ou confondus) : je vérifie si les équations sont proportionnelles (confondus si oui, strictement parallèles sinon).
Comment vérifier si des vecteurs sont colinéaires ?Voir
3
Si les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, les plans sont sécants : je résous le système des deux équations cartésiennes en paramétrant par une variable libre (par exemple $z = t$ ) pour décrire la droite d'intersection.
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Je conclue en donnant la nature de la position relative et, si applicable, une équation paramétrique de la droite d'intersection.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Les plans $\mathcal{P}_1 : x + 2y - z = 1$ et $\mathcal{P}_2 : 2x + 4y - 2z = 5$ . Quelle est leur position relative ?

Étape 1 —

Je lis les vecteurs normaux

\vec{n_1} = (a_1, b_1, c_1)

\vec{n_2} = (a_2, b_2, c_2)

à partir des équations cartésiennes

a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1

a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2

$\vec{n_1} = (1, 2, -1)$ et $\vec{n_2} = (2, 4, -2)$ .

Étape 2 —

Je teste si

\vec{n_1}

\vec{n_2}

sont colinéaires. Si oui, les plans sont parallèles (ou confondus) : je vérifie si les équations sont proportionnelles (confondus si oui, strictement parallèles sinon).

$\vec{n_2} = 2\vec{n_1}$ : les normales sont colinéaires. Je compare les équations : multiplier $\mathcal{P}_1$ par $2$ donne $2x + 4y - 2z = 2 \neq 5$ . Les membres droits sont différents.

Étape 3 —

Si les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, les plans sont sécants : je résous le système des deux équations cartésiennes en paramétrant par une variable libre (par exemple

z = t

) pour décrire la droite d'intersection.

Les équations ne sont pas proportionnelles : il n'y a pas de point commun.

Étape 4 —

Je conclue en donnant la nature de la position relative et, si applicable, une équation paramétrique de la droite d'intersection.

Les deux plans sont strictement parallèles (non confondus).

$\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont strictement parallèles.

Application guidée

Les plans $\mathcal{P}_1 : x + y + z = 3$ et $\mathcal{P}_2 : 2x + 2y + 2z = 6$ . Quelle est leur position relative ?

Application autonome 1

Les plans $\mathcal{P}_1 : x + y - z = 1$ et $\mathcal{P}_2 : x - y + z = 3$ . Quelle est leur position relative ? Paramétrer la droite d'intersection.

Application autonome 2

Les plans $\mathcal{P}_1 : 2x - y + z = 0$ et $\mathcal{P}_2 : x + y - z = 4$ . Quelle est leur position relative ? Paramétrer la droite d'intersection.

Application autonome 3

Les plans $\mathcal{P}_1 : 2x + y - z = 5$ et $\mathcal{P}_2 : x - y + 2z = 1$ . Quelle est leur position relative ? Paramétrer la droite d'intersection.

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