Comment résoudre un problème géométrique impliquant les fonctions trigonométriques ? | MetMat

Comment résoudre un problème géométrique impliquant les fonctions trigonométriques ?

En exprimant les grandeurs géométriques (longueurs, angles, aires) en fonction d'une variable, en formant la fonction à étudier, puis en cherchant ses extrema par dérivation

Maximiser ou minimiser une grandeur géométrique (aire, périmètre, longueur) dépendant d'un angle ou d'une variable trigonométrique.

L'objectif

Maximiser ou minimiser une grandeur géométrique (aire, périmètre, longueur) dépendant d'un angle ou d'une variable trigonométrique.

Le principe

En paramétrant la situation géométrique par un angle $\theta$ , on exprime la grandeur à optimiser comme une fonction de $\theta$ , puis on cherche ses extrema par dérivation sur l'intervalle des valeurs possibles.

La méthode

1
Paramétrer la situation : choisir un angle $\theta$ (ou une longueur) comme variable, préciser son domaine de variation (intervalle des valeurs géométriquement admissibles).
2
Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de $\theta$ , en utilisant les relations trigonométriques dans les triangles ou sur le cercle (sinus, cosinus, relation de Chasles, formule de l'aire...).
3
Dériver la fonction obtenue $f(\theta)$ et résoudre $f'(\theta) = 0$ sur le domaine de variation.
4
Dresser le tableau de variations de $f$ pour identifier les extrema (maximum ou minimum) et vérifier qu'ils correspondent bien à une configuration géométrique valide.
5
Conclure en précisant la valeur optimale de la grandeur et la configuration géométrique correspondante.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On considère un triangle $ABC$ inscrit dans un cercle de rayon $R = 1$ . On pose $\theta = \widehat{BOC}$ où $O$ est le centre du cercle, avec $BC$ fixe (disons $BC = \sqrt{2}$ , correspondant à $\theta = \pi/2$ ). On place $A$ sur l'arc $BC$ et on note $\alpha = \widehat{BAC}$ . Exprimer l'aire du triangle en fonction de $\alpha$ et la maximiser.

Étape 1 —

Paramétrer la situation : choisir un angle

\theta

(ou une longueur) comme variable, préciser son domaine de variation (intervalle des valeurs géométriquement admissibles).

Par le théorème de l'angle inscrit, $\widehat{BAC} = \alpha \in \left]0 ; \pi\right[$ (angle inscrit interceptant l'arc $BC$ ne contenant pas $A$ ). On a $BC = 2R\sin\alpha = 2\sin\alpha$ (théorème des sinus).

Étape 2 —

Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de

\theta

, en utilisant les relations trigonométriques dans les triangles ou sur le cercle (sinus, cosinus, relation de Chasles, formule de l'aire...).

La hauteur $h$ issue de $A$ dans le triangle $ABC$ : $A$ est sur le cercle de rayon $1$ , donc sa distance à la corde $BC$ est $h = 1 + \cos\alpha$ (si $A$ est du même côté que le centre) ou $h = 1 - \cos\alpha$ selon la configuration. Pour $A$ sur le grand arc, $h = 1 + \cos\alpha$ . Alors $\mathcal{A}(\alpha) = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sin\alpha \cdot (1 + \cos\alpha) = \sin\alpha(1 + \cos\alpha)$ .

Étape 3 —

Dériver la fonction obtenue

f(\theta)

et résoudre

f'(\theta) = 0

sur le domaine de variation.

$\mathcal{A}'(\alpha) = \cos\alpha(1 + \cos\alpha) + \sin\alpha \cdot (-\sin\alpha) = \cos\alpha + \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos\alpha + \cos(2\alpha)$ . On résout $\mathcal{A}'(\alpha) = 0$ : $\cos\alpha + 2\cos^2\alpha - 1 = 0$ , soit $2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1 = 0$ . En posant $c = \cos\alpha$ : $2c^2 + c - 1 = 0$ , discriminant $= 1 + 8 = 9$ , donc $c = \dfrac{-1 \pm 3}{4}$ . On obtient $c = \dfrac{1}{2}$ ou $c = -1$ . Ainsi $\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$ , soit $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ (car $\alpha \in ]0 ; \pi[$ ).

Étape 4 —

Dresser le tableau de variations de

f

pour identifier les extrema (maximum ou minimum) et vérifier qu'ils correspondent bien à une configuration géométrique valide.

Sur $]0 ; \pi[$ , $\mathcal{A}$ est croissante sur $\left]0 ; \dfrac{\pi}{3}\right[$ (tester $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$ : $\mathcal{A}'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) > 0$ ) et décroissante sur $\left[\dfrac{\pi}{3} ; \pi\right[$ . Le maximum est donc en $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ .

Étape 5 —

Conclure en précisant la valeur optimale de la grandeur et la configuration géométrique correspondante.

$\mathcal{A}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\!\left(1 + \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ . Le triangle d'aire maximale inscrit dans le cercle est le triangle équilatéral.

L'aire maximale est $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ , atteinte pour $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ , ce qui correspond au triangle équilatéral inscrit.

Application guidée

Un rectangle $MNPQ$ est inscrit dans un demi-cercle de rayon $R = 2$ , avec $MQ$ sur le diamètre. Exprimer l'aire du rectangle en fonction de l'angle $\theta = \widehat{OM\hat{N}}$ et trouver l'aire maximale.

Application autonome 1

On dispose d'un fil de longueur $L = 2\pi$ que l'on courbe pour former un arc de cercle de rayon $r$ et d'angle au centre $\theta$ (en radians). Le secteur délimité par l'arc et les deux rayons a une aire $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}r^2\theta$ . Sachant que $r\theta + 2r = 2\pi$ (longueur du fil = arc + deux rayons), maximiser l'aire.

Application autonome 2

Une échelle de longueur $L = 5$ m est appuyée contre un mur vertical. Soit $\theta$ l'angle entre l'échelle et le sol. On note $A(\theta)$ l'aire du triangle formé par l'échelle, le mur et le sol. Déterminer $\theta$ qui maximise $A(\theta)$ .

Application autonome 3

Un triangle isocèle a deux côtés égaux de longueur $a = 3$ formant un angle $\theta \in \left]0\,;\,\pi\right[$ . Maximiser l'aire de ce triangle en fonction de $\theta$ .

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