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Comment montrer qu'une équation f(x)=kf(x) = k a une unique solution ?

En montrant que ff est continue et strictement monotone sur l'intervalle, puis en appliquant le TVI dans sa version pour fonctions strictement monotones (existence et unicité)

L'objectif

Montrer qu'une équation f(x)=kf(x) = k admet une et une seule solution dans un intervalle II.

Le principe

Si ff est continue et strictement monotone sur II, alors pour toute valeur kk dans l'image de II, l'équation f(x)=kf(x) = k admet une et une seule solution dans II ; l'unicité découle du fait qu'une fonction strictement monotone ne peut pas prendre deux fois la même valeur.

La méthode
  1. 1
    Je montre que ff est continue sur l'intervalle II (fonctions usuelles ou calcul de limite).
  2. 2
    Je montre que ff est strictement monotone sur II (en étudiant le signe de f′f' si ff est dérivable, ou par un argument direct).
  3. 3
    J'applique le TVI : je calcule ff aux bornes de II (ou montre que kk est dans l'image de ff sur II) pour garantir l'existence d'une solution.
    Voir
  4. 4
    Je conclus à l'unicité : une fonction strictement monotone est injective, donc elle ne peut prendre la valeur kk qu'au plus une fois. L'équation f(x)=kf(x) = k admet ainsi une et une seule solution dans II.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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