Comment caractériser un triangle rectangle par son cercle circonscrit ?

En utilisant la propriété : un triangle est rectangle si et seulement si l'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit (le centre est le milieu de l'hypoténuse)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle de centre $O$ . On sait que $O$ est le milieu de $[BC]$ . Que peut-on conclure sur le triangle $ABC$ ?

La méthode

1
Identifie ou repère le cercle circonscrit au triangle.
2
Repère le diamètre : c'est le côté du triangle dont le milieu est le centre du cercle.
3
Énonce la propriété : « Si $[BC]$ est un diamètre du cercle circonscrit, alors le triangle est rectangle en $A$ ».
4
Vérifie ou calcule les distances pour confirmer (le centre $O$ est à égale distance des trois sommets, et $OB = OC = OA$ = rayon).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Un triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle de centre $O$ . On sait que $O$ est le milieu de $[BC]$ . Que peut-on conclure sur le triangle $ABC$ ?

1

Le cercle est le cercle circonscrit au triangle $ABC$ .

2

$O$ est le milieu de $[BC]$ , donc $[BC]$ est un diamètre du cercle.

3

D'après la propriété du cercle circonscrit, si $[BC]$ est un diamètre, alors le triangle est rectangle en l'angle opposé à $BC$ .

4

On conclut que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

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