Comment décrire et calculer la probabilité d'une réunion ou d'une intersection d'événements ? | MetMat

Comment décrire et calculer la probabilité d'une réunion ou d'une intersection d'événements ?

En identifiant les issues appartenant à $A \cup B$ (au moins l'un des deux) ou à $A \cap B$ (les deux simultanément), puis en calculant leur probabilité par équiprobabilité

Décrire et calculer la probabilité de la réunion $A \cup B$ (au moins un des deux événements se réalise) et de l'intersection $A \cap B$ (les deux événements se réalisent simultanément).

L'objectif

Décrire et calculer la probabilité de la réunion $A \cup B$ (au moins un des deux événements se réalise) et de l'intersection $A \cap B$ (les deux événements se réalisent simultanément).

Le principe

La réunion $A \cup B$ contient toutes les issues appartenant à $A$ ou à $B$ (ou aux deux) ; l'intersection $A \cap B$ ne contient que les issues appartenant à $A$ et à $B$ en même temps. On calcule ensuite la probabilité par équiprobabilité.

La méthode

1
Définir clairement les deux événements $A$ et $B$ en listant leurs issues respectives.
2
Former $A \cup B$ (la réunion) : lister toutes les issues qui appartiennent à $A$ ou à $B$ (sans doublon). Rappel : une issue commune aux deux est comptée une seule fois.
3
Former $A \cap B$ (l'intersection) : lister uniquement les issues qui appartiennent à $A$ et à $B$ simultanément. Si $A$ et $B$ n'ont aucune issue en commun, $A \cap B = \emptyset$ et $P(A \cap B) = 0$ .
4
Calculer les probabilités par équiprobabilité : $P(A \cup B) = \dfrac{|A \cup B|}{|\Omega|}$ et $P(A \cap B) = \dfrac{|A \cap B|}{|\Omega|}$ .
Comment calculer la probabilité d'un événement dans un cas d'équiprobabilité ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit $A$ : « obtenir un nombre pair » et $B$ : « obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ». Calculer $P(A \cup B)$ et $P(A \cap B)$ .

Étape 1 —

Définir clairement les deux événements

A

B

en listant leurs issues respectives.

$A = \{2, 4, 6\}$ et $B = \{5, 6\}$ .

Étape 2 —

Former

A \cup B

(la réunion) : lister toutes les issues qui appartiennent à

A

ou à

B

(sans doublon). Rappel : une issue commune aux deux est comptée une seule fois.

$A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$ (issues dans $A$ ou dans $B$ , sans doublon) : $|A \cup B| = 4$ .

Étape 3 —

Former

A \cap B

(l'intersection) : lister uniquement les issues qui appartiennent à

A

et à

B

simultanément. Si

A

B

n'ont aucune issue en commun,

A \cap B = \emptyset

P(A \cap B) = 0

$A \cap B = \{6\}$ (seule issue dans $A$ et dans $B$ simultanément) : $|A \cap B| = 1$ .

Étape 4 —

Calculer les probabilités par équiprobabilité :

P(A \cup B) = \dfrac{|A \cup B|}{|\Omega|}

P(A \cap B) = \dfrac{|A \cap B|}{|\Omega|}

$P(A \cup B) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ et $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}$ .

$P(A \cup B) = \dfrac{2}{3}$ et $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}$ .

Application guidée

Une urne contient 6 billes numérotées de 1 à 6. Soit $A$ : « tirer un nombre impair » et $B$ : « tirer le numéro 3 ou 4 ». Calculer $P(A \cup B)$ et $P(A \cap B)$ .

Application autonome 1

On tire une carte au hasard parmi 8 cartes numérotées de 1 à 8. Soit $A$ : « obtenir un multiple de 2 » et $B$ : « obtenir un multiple de 3 ». Calculer $P(A \cup B)$ et $P(A \cap B)$ .

Application autonome 2

On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit $A$ : « obtenir 1 ou 2 » et $B$ : « obtenir 5 ou 6 ». Calculer $P(A \cup B)$ et $P(A \cap B)$ .

Application autonome 3

Un sac contient 10 jetons numérotés de 1 à 10. Soit $A$ : « tirer un nombre pair » et $B$ : « tirer un nombre inférieur ou égal à 4 ». Calculer $P(A \cup B)$ et $P(A \cap B)$ .

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En identifiant les issues appartenant à A∪BA \cup BA∪B (au moins l'un des deux) ou à A∩BA \cap BA∩B (les deux simultanément), puis en calculant leur probabilité par équiprobabilité

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant les issues appartenant à $A \cup B$ (au moins l'un des deux) ou à $A \cap B$ (les deux simultanément), puis en calculant leur probabilité par équiprobabilité