Comment construire l'image d'un point ou d'une figure par une translation ? | MetMat

Comment construire l'image d'un point ou d'une figure par une translation ?

En utilisant la propriété du parallélogramme : $A'$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ si et seulement si $ABB'A'$ est un parallélogramme

Construire l'image $A'$ d'un point $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ en utilisant la propriété que $ABB'A'$ est un parallélogramme.

L'objectif

Construire l'image $A'$ d'un point $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ en utilisant la propriété que $ABB'A'$ est un parallélogramme.

Le principe

$A'$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ si et seulement si $ABB'A'$ est un parallélogramme (c'est-à-dire $[AB]$ et $[A'B']$ ont le même milieu, ou bien $AA' \parallel BB'$ et $AA' = BB'$ ).

La méthode

1
Repère les points $B$ et $B'$ qui définissent le vecteur de translation $\overrightarrow{BB'}$ , ainsi que le point $A$ à translater.
2
Trace le segment $[BB']$ (le vecteur de translation).
3
À partir de $A$ , trace une droite parallèle à $(BB')$ dans le même sens.
4
Reporte la longueur $BB'$ à partir de $A$ sur cette droite parallèle : le point obtenu est $A'$ .
5
Vérifie que $ABB'A'$ est bien un parallélogramme : les diagonales $[AB']$ et $[BA']$ doivent avoir le même milieu.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On donne $B(1 ; 0)$ et $B'(3 ; 2)$ . Construire $A'$ , l'image de $A(0 ; 2)$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ .

Étape 1 —

Repère les points

B

B'

qui définissent le vecteur de translation

\overrightarrow{BB'}

, ainsi que le point

A

à translater.

On identifie $B(1 ; 0)$ , $B'(3 ; 2)$ et $A(0 ; 2)$ . Le vecteur $\overrightarrow{BB'}$ a pour composantes $(3-1 ; 2-0) = (2 ; 2)$ .

Étape 2 —

Trace le segment

[BB']

(le vecteur de translation).

On trace le segment $[BB']$ de $(1 ; 0)$ à $(3 ; 2)$ .

Étape 3 —

À partir de

A

, trace une droite parallèle à

(BB')

dans le même sens.

À partir de $A(0 ; 2)$ , on trace une direction parallèle à $\overrightarrow{BB'}$ .

Étape 4 —

Reporte la longueur

BB'

à partir de

A

sur cette droite parallèle : le point obtenu est

A'

On reporte les composantes $(2 ; 2)$ depuis $A$ : $A'(0+2 ; 2+2) = A'(2 ; 4)$ .

Étape 5 —

Vérifie que

ABB'A'

est bien un parallélogramme : les diagonales

[AB']

[BA']

doivent avoir le même milieu.

Vérification : milieu de $[AB'] = \left(\frac{0+3}{2} ; \frac{2+2}{2}\right) = (1{,}5 ; 2)$ et milieu de $[BA'] = \left(\frac{1+2}{2} ; \frac{0+4}{2}\right) = (1{,}5 ; 2)$ . C'est bien un parallélogramme.

$A'(2 ; 4)$ et $ABB'A'$ est un parallélogramme.

Application guidée

On donne $B(0 ; 0)$ et $B'(4 ; 1)$ . Construire $A'$ , l'image de $A(1 ; 3)$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ .

Application autonome 1

On donne $B(2 ; 1)$ et $B'(2 ; 4)$ . Construire l'image du segment $[AC]$ avec $A(0 ; 0)$ et $C(3 ; 0)$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ .

Application autonome 2

On donne les points $B(1 ; 2)$ et $B'(4 ; 2)$ . Construire l'image du triangle $PQR$ avec $P(0 ; 0)$ , $Q(2 ; 0)$ , $R(1 ; 2)$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ .

Application autonome 3

On place $B(0 ; 3)$ et $B'(2 ; 5)$ . Construire l'image de $A(1 ; 1)$ par $\overrightarrow{BB'}$ . Vérifier que $ABB'A'$ est un parallélogramme en calculant les milieux des diagonales.

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En utilisant la propriété du parallélogramme : A′A'A′ est l'image de AAA par la translation de vecteur BB′→\overrightarrow{BB'}BB′ si et seulement si ABB′A′ABB'A'ABB′A′ est un parallélogramme

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En utilisant la propriété du parallélogramme : $A'$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ si et seulement si $ABB'A'$ est un parallélogramme