Comment encadrer $\sqrt{a}$ entre deux entiers consécutifs ? | MetMat

Comment encadrer $\sqrt{a}$ entre deux entiers consécutifs ?

En trouvant les deux entiers $n$ et $n+1$ tels que $n^2 \leq a < (n+1)^2$ , puis en déduisant $n \leq \sqrt{a} < n+1$

Encadrer $\sqrt{a}$ entre deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ sans utiliser la calculatrice.

L'objectif

Encadrer $\sqrt{a}$ entre deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ sans utiliser la calculatrice.

Le principe

Si $n^2 \leq a < (n+1)^2$ , alors en prenant la racine carrée (fonction croissante), on obtient $n \leq \sqrt{a} < n+1$ . Il suffit de trouver entre quels carrés parfaits consécutifs se situe $a$ .

La méthode

1
Parcours la liste des carrés parfaits : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, \ldots$ jusqu'à trouver le plus grand carré parfait $n^2$ qui reste inférieur ou égal à $a$ .
2
Vérifie que le carré parfait suivant $(n+1)^2$ est strictement supérieur à $a$ , c'est-à-dire que $n^2 \leq a < (n+1)^2$ .
3
Prends la racine carrée de chaque membre de l'inégalité : $\sqrt{n^2} \leq \sqrt{a} < \sqrt{(n+1)^2}$ , ce qui donne $n \leq \sqrt{a} < n+1$ .
4
Écris l'encadrement final : $n \leq \sqrt{a} < n+1$ , où $n$ et $n+1$ sont deux entiers consécutifs.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Encadre $\sqrt{30}$ entre deux entiers consécutifs.

Étape 1 —

Parcours la liste des carrés parfaits :

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, \ldots

jusqu'à trouver le plus grand carré parfait

n^2

qui reste inférieur ou égal à

a

On cherche le plus grand carré parfait $\leq 30$ : $5^2 = 25 \leq 30$ et $6^2 = 36 > 30$ . Donc $n = 5$ .

Étape 2 —

Vérifie que le carré parfait suivant

(n+1)^2

est strictement supérieur à

a

, c'est-à-dire que

n^2 \leq a < (n+1)^2

On vérifie : $5^2 = 25 \leq 30 < 36 = 6^2$ ✓

Étape 3 —

Prends la racine carrée de chaque membre de l'inégalité :

\sqrt{n^2} \leq \sqrt{a} < \sqrt{(n+1)^2}

, ce qui donne

n \leq \sqrt{a} < n+1

On prend les racines carrées : $\sqrt{25} \leq \sqrt{30} < \sqrt{36}$ , soit $5 \leq \sqrt{30} < 6$ .

Étape 4 —

Écris l'encadrement final :

n \leq \sqrt{a} < n+1

, où

n

n+1

sont deux entiers consécutifs.

Encadrement : $5 \leq \sqrt{30} < 6$ .

$5 \leq \sqrt{30} < 6$

Application guidée

Encadre $\sqrt{50}$ entre deux entiers consécutifs.

Application autonome 1

Encadre $\sqrt{3}$ entre deux entiers consécutifs.

Application autonome 2

Encadre $\sqrt{110}$ entre deux entiers consécutifs.

Application autonome 3

Sans calculatrice, place $\sqrt{72}$ entre deux entiers consécutifs, puis déduis un encadrement à l'unité.

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En trouvant les deux entiers nnn et n+1n+1n+1 tels que n2≤a<(n+1)2n^2 \leq a < (n+1)^2n2≤a<(n+1)2, puis en déduisant n≤a<n+1n \leq \sqrt{a} < n+1n≤a​<n+1

Pour comprendre, fais des exercices !

En trouvant les deux entiers $n$ et $n+1$ tels que $n^2 \leq a < (n+1)^2$ , puis en déduisant $n \leq \sqrt{a} < n+1$