Comment utiliser la réciproque de la droite des milieux ? | MetMat

Comment utiliser la réciproque de la droite des milieux ?

En vérifiant que $M$ est le milieu d'un côté et que $MN \parallel$ au côté opposé, puis en concluant que $N$ est le milieu du second côté et $MN = \frac{1}{2} \times$ le côté opposé

Conclure qu'un point est le milieu d'un côté en utilisant la réciproque du théorème des milieux.

L'objectif

Conclure qu'un point est le milieu d'un côté en utilisant la réciproque du théorème des milieux.

Le principe

Si $M$ est le milieu d'un côté d'un triangle et que $MN$ est parallèle au côté opposé, alors $N$ est le milieu du troisième côté et $MN = \frac{1}{2}$ du côté opposé.

La méthode

1
Identifie le triangle et ses sommets.
2
Vérifie que $M$ est le milieu d'un côté (par exemple $AM = MB$ ).
3
Vérifie que $MN$ est parallèle au côté opposé (par exemple $MN \parallel BC$ ).
4
Énonce la réciproque : « $M$ est le milieu de $[AB]$ et $MN \parallel BC$ , donc $N$ est le milieu de $[AC]$ ».
5
Calcule la longueur : $MN = \frac{1}{2} \times BC$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ , $M$ est le milieu de $[AB]$ et $MN \parallel BC$ avec $N$ sur $[AC]$ . On sait que $BC = 10$ cm. Montrer que $N$ est le milieu de $[AC]$ et calculer $MN$ .

Étape 1 —

Identifie le triangle et ses sommets.

Le triangle est $ABC$ .

Étape 2 —

Vérifie que

M

est le milieu d'un côté (par exemple

AM = MB

$M$ est le milieu de $[AB]$ (donné).

Étape 3 —

Vérifie que

MN

est parallèle au côté opposé (par exemple

MN \parallel BC

$MN \parallel BC$ avec $N$ sur $[AC]$ (donné).

Étape 4 —

Énonce la réciproque : «

M

est le milieu de

[AB]

MN \parallel BC

, donc

N

est le milieu de

[AC]

».

D'après la réciproque du théorème des milieux, $N$ est le milieu de $[AC]$ .

Étape 5 —

Calcule la longueur :

MN = \frac{1}{2} \times BC

$MN = \frac{1}{2} \times BC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ cm.

$N$ est le milieu de $[AC]$ et $MN = 5$ cm.

Application guidée

Dans le triangle $RST$ , $U$ est le milieu de $[RS]$ et $UV \parallel ST$ avec $V$ sur $[RT]$ . $ST = 14$ cm. Montrer que $V$ est le milieu de $[RT]$ et calculer $UV$ .

Application autonome 1

Dans le triangle $ABC$ , on donne $AB = 12$ cm, $M$ est le milieu de $[AB]$ ( $AM = 6$ cm) et $MN \parallel BC$ avec $N$ sur $[AC]$ . Sachant que $BC = 9$ cm, montrer que $N$ est le milieu de $[AC]$ et calculer $MN$ .

Application autonome 2

Dans le triangle $EFG$ , $H$ est le milieu de $[EF]$ et $HK \parallel FG$ avec $K$ sur $[EG]$ . On a $FG = 7{,}6$ cm. Que peut-on dire de $K$ ? Calculer $HK$ .

Application autonome 3

Dans le triangle $ABC$ avec $BC = 11$ cm, on place $M$ milieu de $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ tel que $MN \parallel BC$ . Justifier la position de $N$ et calculer $MN$ . Puis calculer $AC$ sachant que $NC = 6{,}5$ cm.

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant que MMM est le milieu d'un côté et que MN∥MN \parallelMN∥ au côté opposé, puis en concluant que NNN est le milieu du second côté et MN=12×MN = \frac{1}{2} \timesMN=21​× le côté opposé

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $M$ est le milieu d'un côté et que $MN \parallel$ au côté opposé, puis en concluant que $N$ est le milieu du second côté et $MN = \frac{1}{2} \times$ le côté opposé