Comment utiliser le cosinus pour calculer un côté d'un triangle rectangle ? | MetMat

Comment utiliser le cosinus pour calculer un côté d'un triangle rectangle ?

En identifiant l'angle, le côté adjacent et l'hypoténuse, puis en appliquant $\cos \widehat{A} = \dfrac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}$ pour isoler le côté cherché : $\mathrm{adj} = \mathrm{hyp} \times \cos \widehat{A}$ ou $\mathrm{hyp} = \dfrac{\mathrm{adj}}{\cos \widehat{A}}$

Calculer un côté d'un triangle rectangle en utilisant la relation $\cos \widehat{A} = \frac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}$ .

L'objectif

Calculer un côté d'un triangle rectangle en utilisant la relation $\cos \widehat{A} = \frac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}$ .

Le principe

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{A}$ : $\cos \widehat{A} = \dfrac{\text{côté adjacent à }A}{\text{hypoténuse}}$ .

La méthode

1
Identifie l'angle droit et l'angle $\widehat{A}$ dont on connaît la mesure.
2
Repère l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) et le côté adjacent à $\widehat{A}$ (le côté de l'angle $\widehat{A}$ qui n'est pas l'hypoténuse).
3
Écris la relation : $\cos \widehat{A} = \dfrac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}$ .
4
Isole le côté cherché : si on cherche l'adjacent, $\mathrm{adj} = \mathrm{hyp} \times \cos \widehat{A}$ ; si on cherche l'hypoténuse, $\mathrm{hyp} = \dfrac{\mathrm{adj}}{\cos \widehat{A}}$ .
5
Calcule numériquement (utilise la touche $\cos$ de la calculatrice en mode degrés) et arrondis si demandé.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ , $\widehat{A} = 40°$ et $AC = 8$ cm. Calculer $AB$ (arrondir au dixième).

Étape 1 —

Identifie l'angle droit et l'angle

\widehat{A}

dont on connaît la mesure.

L'angle droit est en $B$ . L'angle $\widehat{A} = 40°$ .

Étape 2 —

Repère l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) et le côté adjacent à

\widehat{A}

(le côté de l'angle

\widehat{A}

qui n'est pas l'hypoténuse).

L'hypoténuse est $AC = 8$ cm. Le côté adjacent à $\widehat{A}$ est $AB$ .

Étape 3 —

Écris la relation :

\cos \widehat{A} = \dfrac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}

$\cos \widehat{A} = \dfrac{AB}{AC}$ , soit $\cos 40° = \dfrac{AB}{8}$ .

Étape 4 —

Isole le côté cherché : si on cherche l'adjacent,

\mathrm{adj} = \mathrm{hyp} \times \cos \widehat{A}

; si on cherche l'hypoténuse,

\mathrm{hyp} = \dfrac{\mathrm{adj}}{\cos \widehat{A}}

$AB = 8 \times \cos 40°$ .

Étape 5 —

Calcule numériquement (utilise la touche

\cos

de la calculatrice en mode degrés) et arrondis si demandé.

$AB = 8 \times 0{,}766 \approx 6{,}1$ cm.

$AB \approx 6{,}1$ cm.

Application guidée

Dans le triangle $DEF$ rectangle en $F$ , $\widehat{D} = 55°$ et $DF = 10$ cm. Calculer $DE$ (arrondir au dixième).

Application autonome 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ , $\widehat{A} = 30°$ et $AB = 12$ cm. Calculer $AC$ .

Application autonome 2

Un randonneur marche en ligne droite sur un chemin qui forme un angle de $25°$ avec l'horizontale. Après $500$ m, quelle est sa distance horizontale parcourue (arrondir au mètre) ?

Application autonome 3

Dans le triangle $PQR$ rectangle en $R$ , $\widehat{P} = 48°$ et $PQ = 15$ cm. Calculer $PR$ et $QR$ (arrondir au dixième).

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