Comment utiliser le théorème de la droite des milieux (sens direct) ? | MetMat

Comment utiliser le théorème de la droite des milieux (sens direct) ?

En vérifiant que $M$ et $N$ sont les milieux de deux côtés du triangle, puis en concluant que $MN \parallel$ au troisième côté et $MN = \frac{1}{2} \times$ ce côté

Utiliser le théorème des milieux pour déduire qu'un segment est parallèle à un côté du triangle et vaut la moitié de ce côté.

L'objectif

Utiliser le théorème des milieux pour déduire qu'un segment est parallèle à un côté du triangle et vaut la moitié de ce côté.

Le principe

Si $M$ et $N$ sont les milieux de deux côtés d'un triangle, alors $MN$ est parallèle au troisième côté et $MN = \frac{1}{2}$ de ce troisième côté.

La méthode

1
Identifie le triangle et les trois sommets.
2
Vérifie que $M$ est le milieu d'un côté et que $N$ est le milieu d'un autre côté (en montrant que $AM = MB$ et $AN = NC$ par exemple).
3
Énonce le théorème : « Dans le triangle $ABC$ , $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[AC]$ , donc $MN \parallel BC$ ».
4
Calcule la longueur : $MN = \frac{1}{2} \times BC$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ , $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[AC]$ . On sait que $BC = 8$ cm. Montrer que $MN \parallel BC$ et calculer $MN$ .

Étape 1 —

Identifie le triangle et les trois sommets.

Le triangle est $ABC$ de sommets $A$ , $B$ , $C$ .

Étape 2 —

Vérifie que

M

est le milieu d'un côté et que

N

est le milieu d'un autre côté (en montrant que

AM = MB

AN = NC

par exemple).

$M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[AC]$ (donné dans l'énoncé).

Étape 3 —

Énonce le théorème : « Dans le triangle

ABC

M

est le milieu de

[AB]

N

est le milieu de

[AC]

, donc

MN \parallel BC

».

D'après le théorème des milieux, $MN \parallel BC$ .

Étape 4 —

Calcule la longueur :

MN = \frac{1}{2} \times BC

$MN = \frac{1}{2} \times BC = \frac{1}{2} \times 8 = 4$ cm.

$MN \parallel BC$ et $MN = 4$ cm.

Application guidée

Dans le triangle $PQR$ , $S$ est le milieu de $[PQ]$ et $T$ est le milieu de $[PR]$ . On sait que $QR = 13$ cm. Calculer $ST$ .

Application autonome 1

Dans le triangle $ABC$ , $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[BC]$ . $AB = 10$ cm et $AC = 7$ cm. Calculer $MN$ .

Application autonome 2

Dans le triangle $DEF$ , $I$ est le milieu de $[DE]$ et $J$ est le milieu de $[EF]$ . $DF = 9{,}4$ cm. Calculer $IJ$ et préciser sa direction.

Application autonome 3

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$ , $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[BC]$ . $AC = 12$ cm. $MN$ est-il parallèle à $AC$ ? Calculer $MN$ .

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En vérifiant que MMM et NNN sont les milieux de deux côtés du triangle, puis en concluant que MN∥MN \parallelMN∥ au troisième côté et MN=12×MN = \frac{1}{2} \timesMN=21​× ce côté

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $M$ et $N$ sont les milieux de deux côtés du triangle, puis en concluant que $MN \parallel$ au troisième côté et $MN = \frac{1}{2} \times$ ce côté