Comment démontrer que deux droites… : En montrant que l'une est l'image de l'autre… — 4e | MetMat

Comment démontrer que deux droites sont parallèles à l'aide d'une translation ?

En montrant que l'une est l'image de l'autre par une translation, puis en concluant qu'elles sont parallèles par conservation du parallélisme

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On donne $A(0 ; 1)$ , $B(3 ; 1)$ , $C(0 ; 4)$ , $D(3 ; 4)$ . Montrer que $(AB) \parallel (CD)$ .

La méthode

1
Identifie les deux droites dont on veut démontrer le parallélisme.
2
Trouve une translation qui envoie un point de la première droite sur un point de la seconde droite, et vérifie que la direction est conservée.
3
Montre que la seconde droite est bien l'image de la première par cette translation (en vérifiant avec un deuxième point ou en utilisant la structure géométrique).
4
Conclus : puisque la droite $d'$ est l'image de la droite $d$ par une translation, alors $d \parallel d'$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On donne $A(0 ; 1)$ , $B(3 ; 1)$ , $C(0 ; 4)$ , $D(3 ; 4)$ . Montrer que $(AB) \parallel (CD)$ .

Les deux droites à étudier sont $(AB)$ et $(CD)$ .

Considérons la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$ : composantes $(0-0 ; 4-1) = (0 ; 3)$ . Elle envoie $A(0 ; 1)$ sur $C(0 ; 4)$ .

Cette même translation envoie $B(3 ; 1)$ sur $(3+0 ; 1+3) = (3 ; 4) = D$ . Donc la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$ envoie $(AB)$ sur $(CD)$ .

$(CD)$ est l'image de $(AB)$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$ , donc $(AB) \parallel (CD)$ .

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