Comment démontrer que deux droites sont parallèles à l'aide d'une translation ? | MetMat

Comment démontrer que deux droites sont parallèles à l'aide d'une translation ?

En montrant que l'une est l'image de l'autre par une translation, puis en concluant qu'elles sont parallèles par conservation du parallélisme

Démontrer que deux droites sont parallèles en montrant que l'une est l'image de l'autre par une translation.

L'objectif

Démontrer que deux droites sont parallèles en montrant que l'une est l'image de l'autre par une translation.

Le principe

Si une droite $d'$ est l'image de la droite $d$ par une translation, alors $d \parallel d'$ (une translation conserve le parallélisme, et une droite est parallèle à son image par une translation).

La méthode

1
Identifie les deux droites dont on veut démontrer le parallélisme.
2
Trouve une translation qui envoie un point de la première droite sur un point de la seconde droite, et vérifie que la direction est conservée.
3
Montre que la seconde droite est bien l'image de la première par cette translation (en vérifiant avec un deuxième point ou en utilisant la structure géométrique).
4
Conclus : puisque la droite $d'$ est l'image de la droite $d$ par une translation, alors $d \parallel d'$ .

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Exercice d'exemple

On donne $A(0 ; 1)$ , $B(3 ; 1)$ , $C(0 ; 4)$ , $D(3 ; 4)$ . Montrer que $(AB) \parallel (CD)$ .

Étape 1 —

Identifie les deux droites dont on veut démontrer le parallélisme.

Les deux droites à étudier sont $(AB)$ et $(CD)$ .

Étape 2 —

Trouve une translation qui envoie un point de la première droite sur un point de la seconde droite, et vérifie que la direction est conservée.

Considérons la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$ : composantes $(0-0 ; 4-1) = (0 ; 3)$ . Elle envoie $A(0 ; 1)$ sur $C(0 ; 4)$ .

Étape 3 —

Montre que la seconde droite est bien l'image de la première par cette translation (en vérifiant avec un deuxième point ou en utilisant la structure géométrique).

Cette même translation envoie $B(3 ; 1)$ sur $(3+0 ; 1+3) = (3 ; 4) = D$ . Donc la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$ envoie $(AB)$ sur $(CD)$ .

Étape 4 —

Conclus : puisque la droite

d'

est l'image de la droite

d

par une translation, alors

d \parallel d'

$(CD)$ est l'image de $(AB)$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$ , donc $(AB) \parallel (CD)$ .

Application guidée

Dans le parallélogramme $ABCD$ avec $A(0 ; 0)$ , $B(4 ; 0)$ , $C(5 ; 2)$ , $D(1 ; 2)$ , démontrer que $(AD) \parallel (BC)$ .

Application autonome 1

On a les points $E(1 ; 0)$ , $F(3 ; 0)$ , $G(2 ; 3)$ , $H(4 ; 3)$ . Montrer que $(EF) \parallel (GH)$ .

Application autonome 2

On sait que $M'N'$ est l'image de $MN$ par une translation de vecteur $\overrightarrow{v}$ . La droite $(PQ)$ est parallèle à $(MN)$ . Son image par la même translation est $(P'Q')$ . Démontrer que $(P'Q') \parallel (M'N')$ .

Application autonome 3

Dans le triangle $ABC$ , $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ est le milieu de $[AC]$ . On admet que $J$ est l'image de $I$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{IJ}$ , et que $C$ est l'image de $B$ par la même translation. Montrer que $(IJ) \parallel (BC)$ .

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