Comment vérifier qu'un triangle peut exister avec des longueurs données ? | MetMat

Comment vérifier qu'un triangle peut exister avec des longueurs données ?

En vérifiant l'inégalité triangulaire pour chaque côté : chaque côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres

Déterminer si trois longueurs données peuvent former les côtés d'un triangle.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Peut-on construire un triangle de côtés $5$ cm, $7$ cm et $10$ cm ?

L'objectif

Déterminer si trois longueurs données peuvent former les côtés d'un triangle.

Le principe

L'inégalité triangulaire stipule que dans tout triangle, chaque côté est strictement inférieur à la somme des deux autres : si $a \geq b+c$ , le triangle est impossible.

La méthode

1
Nommer les trois longueurs $a$ , $b$ , $c$ et repérer la plus grande, par exemple $a$ .
2
Vérifier l'inégalité critique : $a < b + c$ (tester uniquement la plus grande longueur contre la somme des deux autres suffit).
3
Si $a < b + c$ , le triangle existe. Conclure en précisant que les deux autres inégalités ( $b < a+c$ et $c < a+b$ ) sont alors automatiquement vérifiées.
4
Si $a \geq b + c$ , le triangle est impossible : conclure en précisant que le côté le plus long est trop grand.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Peut-on construire un triangle de côtés $5$ cm, $7$ cm et $10$ cm ?

Étape 1 —

Nommer les trois longueurs

a

b

c

et repérer la plus grande, par exemple

a

$a = 10$ cm (la plus grande), $b = 7$ cm, $c = 5$ cm.

Étape 2 —

Vérifier l'inégalité critique :

a < b + c

(tester uniquement la plus grande longueur contre la somme des deux autres suffit).

On vérifie : $10 < 7 + 5 = 12$ . C'est vrai.

Étape 3 —

a < b + c

, le triangle existe. Conclure en précisant que les deux autres inégalités (

b < a+c

c < a+b

) sont alors automatiquement vérifiées.

$10 < 12$ : le triangle existe. Les autres inégalités ( $7 < 15$ et $5 < 17$ ) sont aussi vérifiées.

Étape 4 —

a \geq b + c

, le triangle est impossible : conclure en précisant que le côté le plus long est trop grand.

Conclusion : le triangle est possible.

Oui, un triangle de côtés $5$ cm, $7$ cm et $10$ cm est possible car $10 < 7 + 5$ .

Application guidée

Peut-on construire un triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm et $8$ cm ?

Application autonome 1

Est-il possible d'avoir un triangle de côtés $6$ cm, $6$ cm et $12$ cm ?

Application autonome 2

Parmi les triplets suivants, lequel peut former un triangle : $(2, 5, 6)$ ou $(1, 2, 4)$ ?

Application autonome 3

Un triangle a deux côtés de $5$ cm et $9$ cm. Quelles longueurs sont possibles pour le troisième côté ?

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