Comment vérifier qu'un triangle peut exister avec des longueurs données ? | MetMat

Comment vérifier qu'un triangle peut exister avec des longueurs données ?

En vérifiant l'inégalité triangulaire pour chaque côté : chaque côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres

Déterminer si trois longueurs données peuvent former les côtés d'un triangle.

L'objectif

Déterminer si trois longueurs données peuvent former les côtés d'un triangle.

Le principe

L'inégalité triangulaire stipule que dans tout triangle, chaque côté est strictement inférieur à la somme des deux autres : si $a \geq b+c$ , le triangle est impossible.

La méthode

1
Nommer les trois longueurs $a$ , $b$ , $c$ et repérer la plus grande, par exemple $a$ .
2
Vérifier l'inégalité critique : $a < b + c$ (tester uniquement la plus grande longueur contre la somme des deux autres suffit).
3
Si $a < b + c$ , le triangle existe. Conclure en précisant que les deux autres inégalités ( $b < a+c$ et $c < a+b$ ) sont alors automatiquement vérifiées.
4
Si $a \geq b + c$ , le triangle est impossible : conclure en précisant que le côté le plus long est trop grand.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Peut-on construire un triangle de côtés $5$ cm, $7$ cm et $10$ cm ?

Étape 1 —

Nommer les trois longueurs

a

b

c

et repérer la plus grande, par exemple

a

$a = 10$ cm (la plus grande), $b = 7$ cm, $c = 5$ cm.

Étape 2 —

Vérifier l'inégalité critique :

a < b + c

(tester uniquement la plus grande longueur contre la somme des deux autres suffit).

On vérifie : $10 < 7 + 5 = 12$ . C'est vrai.

Étape 3 —

a < b + c

, le triangle existe. Conclure en précisant que les deux autres inégalités (

b < a+c

c < a+b

) sont alors automatiquement vérifiées.

$10 < 12$ : le triangle existe. Les autres inégalités ( $7 < 15$ et $5 < 17$ ) sont aussi vérifiées.

Étape 4 —

a \geq b + c

, le triangle est impossible : conclure en précisant que le côté le plus long est trop grand.

Conclusion : le triangle est possible.

Oui, un triangle de côtés $5$ cm, $7$ cm et $10$ cm est possible car $10 < 7 + 5$ .

Application guidée

Peut-on construire un triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm et $8$ cm ?

Application autonome 1

Est-il possible d'avoir un triangle de côtés $6$ cm, $6$ cm et $12$ cm ?

Application autonome 2

Parmi les triplets suivants, lequel peut former un triangle : $(2, 5, 6)$ ou $(1, 2, 4)$ ?

Application autonome 3

Un triangle a deux côtés de $5$ cm et $9$ cm. Quelles longueurs sont possibles pour le troisième côté ?

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