En vérifiant l'une des propriétés caractéristiques : côtés opposés parallèles deux à deux, OU côtés opposés égaux deux à deux, OU diagonales se coupant en leur milieu

Identifier si un quadrilatère est un parallélogramme en utilisant une propriété caractéristique.

L'objectif

Identifier si un quadrilatère est un parallélogramme en utilisant une propriété caractéristique.

Le principe

Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si : ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, OU ses côtés opposés sont égaux deux à deux, OU ses diagonales se coupent en leur milieu.

La méthode

1
Identifier les données disponibles sur le quadrilatère (longueurs de côtés, parallélisme, position du point d'intersection des diagonales).
2
Choisir la propriété caractéristique adaptée aux données : côtés opposés parallèles, côtés opposés égaux, ou diagonales se coupant en leur milieu.
3
Vérifier que la propriété choisie est satisfaite pour les deux paires de côtés opposés (ou pour les deux diagonales).
4
Conclure : si la propriété est vérifiée, le quadrilatère est un parallélogramme ; sinon, il ne l'est pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Le quadrilatère $ABCD$ a pour mesures : $AB = 5\,\mathrm{cm}$ , $BC = 3\,\mathrm{cm}$ , $CD = 5\,\mathrm{cm}$ , $DA = 3\,\mathrm{cm}$ . Est-ce un parallélogramme ?

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[0,0],[5,0],[6,2],[1,2]],"color":"blue","label":"ABCD"}]}

Étape 1 —

Identifier les données disponibles sur le quadrilatère (longueurs de côtés, parallélisme, position du point d'intersection des diagonales).

On dispose des longueurs des quatre côtés : $AB = 5\,\mathrm{cm}$ , $BC = 3\,\mathrm{cm}$ , $CD = 5\,\mathrm{cm}$ , $DA = 3\,\mathrm{cm}$ .

Étape 2 —

Choisir la propriété caractéristique adaptée aux données : côtés opposés parallèles, côtés opposés égaux, ou diagonales se coupant en leur milieu.

On choisit la propriété : les côtés opposés sont égaux deux à deux.

Étape 3 —

Vérifier que la propriété choisie est satisfaite pour les deux paires de côtés opposés (ou pour les deux diagonales).

On vérifie : $AB = CD = 5\,\mathrm{cm}$ et $BC = DA = 3\,\mathrm{cm}$ . Les deux paires de côtés opposés sont bien égales.

Étape 4 —

Conclure : si la propriété est vérifiée, le quadrilatère est un parallélogramme ; sinon, il ne l'est pas.

Conclusion : $ABCD$ est un parallélogramme car ses côtés opposés sont égaux deux à deux.

$ABCD$ est un parallélogramme.

Application guidée

Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ d'un quadrilatère $ABCD$ se coupent en $O$ . On mesure $OA = 4\,\mathrm{cm}$ , $OC = 4\,\mathrm{cm}$ , $OB = 3\,\mathrm{cm}$ , $OD = 3\,\mathrm{cm}$ . Est-ce un parallélogramme ?

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[0,0],[4,0],[5,2],[1,2]],"color":"blue"},{"kind":"segment","points":[[0,0],[5,2]],"color":"gray"},{"kind":"segment","points":[[4,0],[1,2]],"color":"gray"}]}

Application autonome 1

Dans le quadrilatère $EFGH$ , on sait que $(EF) \parallel (HG)$ et $(EH) \parallel (FG)$ . Est-ce un parallélogramme ?

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[0,0],[5,0],[5,3],[0,3]],"color":"blue","label":"EFGH"}]}

Application autonome 2

Un quadrilatère $IJKL$ a $IJ = 6\,\mathrm{cm}$ , $JK = 4\,\mathrm{cm}$ , $KL = 6\,\mathrm{cm}$ , $LI = 5\,\mathrm{cm}$ . Est-ce un parallélogramme ?

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[0,0],[6,0],[7,3],[1,3]],"color":"red","label":"IJKL"}]}

Application autonome 3

Les diagonales $[PR]$ et $[QS]$ d'un quadrilatère $PQRS$ se coupent en $O$ . On mesure $OP = 3\,\mathrm{cm}$ , $OR = 3\,\mathrm{cm}$ , $OQ = 5\,\mathrm{cm}$ , $OS = 4\,\mathrm{cm}$ . Est-ce un parallélogramme ?

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[0,0],[5,0],[4,3],[1,3]],"color":"red","label":"PQRS"}]}

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