Comment utiliser les propriétés de conservation de la symétrie centrale ? | MetMat

Comment utiliser les propriétés de conservation de la symétrie centrale ?

En appliquant la conservation des longueurs, des angles et du parallélisme pour déduire des égalités de distances ou prouver que des droites sont parallèles

Justifier une égalité de longueurs, d'angles ou un parallélisme en invoquant la symétrie centrale.

L'objectif

Justifier une égalité de longueurs, d'angles ou un parallélisme en invoquant la symétrie centrale.

Le principe

La symétrie centrale conserve les distances ( $AB = A'B'$ ), les angles ( $\widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'}$ ) et le parallélisme ( $(AB) \parallel (A'B')$ ).

La méthode

1
Identifier la symétrie centrale en jeu : nommer le centre O et préciser quels points sont symétriques (A et A', B et B', etc.).
2
Rappeler la propriété à utiliser : conservation des distances, des angles, ou du parallélisme.
3
Appliquer la propriété : si A et A' sont symétriques par rapport à O, et B et B' aussi, alors $AB = A'B'$ , $\widehat{A} = \widehat{A'}$ , ou $(AB) \parallel (A'B')$ .
4
Conclure en répondant à la question posée : écrire l'égalité ou l'argument de parallélisme obtenu.

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Exercice d'exemple

Dans un repère, $A(1\,;\,1)$ et $B(3\,;\,2)$ . Leurs symétriques par rapport à $O(0\,;\,0)$ sont $A'(-1\,;\,-1)$ et $B'(-3\,;\,-2)$ . Montre que $A'B' = AB$ .

Étape 1 —

Identifier la symétrie centrale en jeu : nommer le centre O et préciser quels points sont symétriques (A et A', B et B', etc.).

$A$ et $A'$ sont symétriques par rapport à $O$ , ainsi que $B$ et $B'$ .

Étape 2 —

Rappeler la propriété à utiliser : conservation des distances, des angles, ou du parallélisme.

La symétrie centrale conserve les distances : $A'B' = AB$ .

Étape 3 —

Appliquer la propriété : si A et A' sont symétriques par rapport à O, et B et B' aussi, alors

AB = A'B'

\widehat{A} = \widehat{A'}

, ou

(AB) \parallel (A'B')

On peut vérifier : $AB = \sqrt{(3-1)^2+(2-1)^2} = \sqrt{5}$ et $A'B' = \sqrt{(-3+1)^2+(-2+1)^2} = \sqrt{5}$ .

Étape 4 —

Conclure en répondant à la question posée : écrire l'égalité ou l'argument de parallélisme obtenu.

Donc $A'B' = AB = \sqrt{5}$ .

$A'B' = AB$ par conservation des distances par la symétrie centrale de centre $O$ .

Application guidée

Dans un triangle $ABC$ , $A'$ , $B'$ , $C'$ sont les symétriques de $A$ , $B$ , $C$ par rapport au point $O$ . Sachant que $(BC)$ est horizontale, prouve que $(B'C')$ est aussi horizontale (c'est-à-dire que $(BC) \parallel (B'C')$ ).

Application autonome 1

Dans un triangle $ABC$ , $\widehat{BAC} = 40°$ . $A'$ , $B'$ , $C'$ sont les symétriques de $A$ , $B$ , $C$ par rapport à $O$ . Quelle est la mesure de $\widehat{B'A'C'}$ ?

Application autonome 2

ABCD est un parallélogramme de centre O. Montre que $AB = CD$ .

Application autonome 3

Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont symétriques par rapport à un point $O$ . Si $(d_1)$ fait un angle de $35°$ avec l'axe horizontal, quel angle $(d_2)$ fait-elle avec cet axe ?

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