Comment utiliser les propriétés de… : En appliquant la conservation des longueurs… — 5e | MetMat

Comment utiliser les propriétés de conservation de la symétrie centrale ?

En appliquant la conservation des longueurs, des angles et du parallélisme pour déduire des égalités de distances ou prouver que des droites sont parallèles

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans un repère, $A(1\,;\,1)$ et $B(3\,;\,2)$ . Leurs symétriques par rapport à $O(0\,;\,0)$ sont $A'(-1\,;\,-1)$ et $B'(-3\,;\,-2)$ . Montre que $A'B' = AB$ .

La méthode

1
Identifier la symétrie centrale en jeu : nommer le centre O et préciser quels points sont symétriques (A et A', B et B', etc.).
2
Rappeler la propriété à utiliser : conservation des distances, des angles, ou du parallélisme.
3
Appliquer la propriété : si A et A' sont symétriques par rapport à O, et B et B' aussi, alors $AB = A'B'$ , $\widehat{A} = \widehat{A'}$ , ou $(AB) \parallel (A'B')$ .
4
Conclure en répondant à la question posée : écrire l'égalité ou l'argument de parallélisme obtenu.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Dans un repère, $A(1\,;\,1)$ et $B(3\,;\,2)$ . Leurs symétriques par rapport à $O(0\,;\,0)$ sont $A'(-1\,;\,-1)$ et $B'(-3\,;\,-2)$ . Montre que $A'B' = AB$ .

$A$ et $A'$ sont symétriques par rapport à $O$ , ainsi que $B$ et $B'$ .

La symétrie centrale conserve les distances : $A'B' = AB$ .

On peut vérifier : $AB = \sqrt{(3-1)^2+(2-1)^2} = \sqrt{5}$ et $A'B' = \sqrt{(-3+1)^2+(-2+1)^2} = \sqrt{5}$ .

Donc $A'B' = AB = \sqrt{5}$ .

$A'B' = AB$ par conservation des distances par la symétrie centrale de centre $O$ .

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