Comment calculer un angle inconnu dans une figure avec des droites parallèles ? | MetMat

Comment calculer un angle inconnu dans une figure avec des droites parallèles ?

En identifiant les droites parallèles et la sécante, puis en utilisant l'égalité des angles alternes-internes ou correspondants pour déduire l'angle cherché

Calculer la mesure d'un angle inconnu en exploitant le parallélisme et les propriétés des angles.

L'objectif

Calculer la mesure d'un angle inconnu en exploitant le parallélisme et les propriétés des angles.

Le principe

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont égaux et les angles correspondants sont égaux.

La méthode

1
Identifier les deux droites parallèles et la sécante dans la figure.
2
Repérer l'angle connu et l'angle inconnu. Déterminer s'ils forment une paire d'angles alternes-internes ou d'angles correspondants avec la sécante.
3
Si ce sont des alternes-internes ou des correspondants, ils sont égaux : écrire l'égalité $\widehat{ABC} = \widehat{DEF}$ .
4
Conclure en donnant la mesure de l'angle inconnu et en citant la propriété utilisée (droites parallèles coupées par une sécante → angles alternes-internes égaux, ou angles correspondants égaux).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles. La sécante $(s)$ les coupe en $A$ et $B$ . On sait que $\widehat{MAB} = 63°$ . Calcule $\widehat{ABN}$ , angle alternes-interne de $\widehat{MAB}$ .

Étape 1 —

Identifier les deux droites parallèles et la sécante dans la figure.

$(d_1) \parallel (d_2)$ et la sécante $(s)$ coupe $(d_1)$ en $A$ et $(d_2)$ en $B$ .

Étape 2 —

Repérer l'angle connu et l'angle inconnu. Déterminer s'ils forment une paire d'angles alternes-internes ou d'angles correspondants avec la sécante.

$\widehat{MAB} = 63°$ est intérieur en $A$ (gauche de $(s)$ ). $\widehat{ABN}$ est intérieur en $B$ (droit de $(s)$ ) : ils forment une paire d'angles alternes-internes.

Étape 3 —

Si ce sont des alternes-internes ou des correspondants, ils sont égaux : écrire l'égalité

\widehat{ABC} = \widehat{DEF}

Puisque $(d_1) \parallel (d_2)$ , les angles alternes-internes sont égaux : $\widehat{ABN} = \widehat{MAB} = 63°$ .

Étape 4 —

Conclure en donnant la mesure de l'angle inconnu et en citant la propriété utilisée (droites parallèles coupées par une sécante → angles alternes-internes égaux, ou angles correspondants égaux).

$(d_1)$ et $(d_2)$ étant parallèles, les angles alternes-internes $\widehat{MAB}$ et $\widehat{ABN}$ sont égaux, donc $\widehat{ABN} = 63°$ .

$\widehat{ABN} = 63°$

Application guidée

Les droites $(a)$ et $(b)$ sont parallèles, coupées par la sécante $(t)$ en $E$ et $F$ . On sait que $\widehat{GEF} = 118°$ (extérieur en $E$ , côté gauche). Calcule $\widehat{EFH}$ (intérieur en $F$ , côté gauche), angle correspondant.

Application autonome 1

Dans la figure, $(\Delta_1) \parallel (\Delta_2)$ . La sécante $(s)$ coupe $(\Delta_1)$ en $C$ et $(\Delta_2)$ en $D$ . On sait que $\widehat{PCD} = 47°$ (intérieur en $C$ , droit). Calcule $\widehat{CDQ}$ (intérieur en $D$ , gauche).

Application autonome 2

Les droites $(r)$ et $(q)$ sont parallèles, coupées par la sécante $(u)$ en $X$ et $Y$ . On mesure $\widehat{AXY} = 130°$ (extérieur en $X$ , gauche). Calcule $\widehat{XYB}$ (extérieur en $Y$ , gauche), angle correspondant.

Application autonome 3

Dans un trapèze $ABCD$ avec $(AB) \parallel (CD)$ , la diagonale $[BD]$ est la sécante. On mesure $\widehat{ABD} = 54°$ . Calcule $\widehat{BDC}$ , angle alternes-interne de $\widehat{ABD}$ .

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