Comment tracer les médiatrices d'un triangle et trouver le cercle circonscrit ? | MetMat

Comment tracer les médiatrices d'un triangle et trouver le cercle circonscrit ?

En construisant la médiatrice de chaque côté (perpendiculaire au milieu du côté, à la règle et au compas), puis en prenant leur point de concours comme centre du cercle circonscrit

Construire les médiatrices d'un triangle et déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC avec $A(0,4)$ , $B(0,0)$ et $C(6,0)$ .

L'objectif

Construire les médiatrices d'un triangle et déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit.

Le principe

La médiatrice d'un segment est le lieu des points équidistants de ses extrémités ; les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au circumcentre.

La méthode

1
Ouvrir le compas à plus de la moitié du côté. Depuis chaque extrémité, tracer un arc : les deux arcs se croisent de part et d'autre du côté.
2
Relier les deux points d'intersection des arcs à la règle : cette droite est la médiatrice du côté considéré (elle est perpendiculaire au côté et passe par son milieu).
3
Répéter les étapes 1 et 2 pour les deux autres côtés du triangle. En pratique, deux médiatrices suffisent car elles se coupent déjà au circumcentre O.
4
Le point de concours O des médiatrices est le centre du cercle circonscrit. Mesurer $OA$ (ou $OB$ ou $OC$ , qui sont tous égaux) pour obtenir le rayon $R$ , puis tracer le cercle de centre O et de rayon $R$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC avec $A(0,4)$ , $B(0,0)$ et $C(6,0)$ .

Étape 1 —

Ouvrir le compas à plus de la moitié du côté. Depuis chaque extrémité, tracer un arc : les deux arcs se croisent de part et d'autre du côté.

Pour le côté $[BC]$ (horizontal), ouvrir le compas à plus de $3$ cm depuis B et C : les arcs se croisent en $(3, 2)$ et $(3, -2)$ .

Étape 2 —

Relier les deux points d'intersection des arcs à la règle : cette droite est la médiatrice du côté considéré (elle est perpendiculaire au côté et passe par son milieu).

La médiatrice de $[BC]$ est la droite verticale $x = 3$ .

Étape 3 —

Répéter les étapes 1 et 2 pour les deux autres côtés du triangle. En pratique, deux médiatrices suffisent car elles se coupent déjà au circumcentre O.

Construire la médiatrice de $[AB]$ de même : elle passe par le milieu de $[AB]$ perpendiculairement.

Étape 4 —

Le point de concours O des médiatrices est le centre du cercle circonscrit. Mesurer

OA

(ou

OB

OC

, qui sont tous égaux) pour obtenir le rayon

R

, puis tracer le cercle de centre O et de rayon

R

Le circumcentre O est à l'intersection des deux médiatrices. Mesurer $OA = OB = OC = R$ et tracer le cercle.

Le circumcentre O est le point équidistant de A, B et C. Le cercle de centre O et de rayon $OA$ passe exactement par les trois sommets.

Application guidée

Vérifier que le circumcentre d'un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse.

Application autonome 1

Construire les médiatrices d'un triangle équilatéral de côté 6 cm. Que remarque-t-on ?

Application autonome 2

Construire le cercle circonscrit au triangle ABC avec $AB = 5$ cm, $BC = 7$ cm et $CA = 6$ cm.

Application autonome 3

Expliquer pourquoi le circumcentre d'un triangle obtusangle est à l'extérieur du triangle.

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