Comment construire un parallélogramme à partir de données partielles ? | MetMat

Comment construire un parallélogramme à partir de données partielles ?

En utilisant la propriété des diagonales qui se coupent en leur milieu : tracer les deux diagonales se croisant en leur milieu commun, puis relier les extrémités

Construire un parallélogramme en exploitant le milieu des diagonales pour trouver le sommet manquant.

L'objectif

Construire un parallélogramme en exploitant le milieu des diagonales pour trouver le sommet manquant.

Le principe

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu : le centre $O$ est le milieu de chaque diagonale, donc $D$ est le symétrique de $B$ par rapport au milieu $O$ de $[AC]$ .

La méthode

1
Placer les trois sommets connus $A$ , $B$ , $C$ (ou les données équivalentes) sur la feuille.
2
Trouver le centre $O$ du parallélogramme : $O$ est le milieu du segment $[AC]$ (la diagonale reliant les sommets non consécutifs donnés). Construire $O$ au compas ou à la règle graduée.
3
Construire le quatrième sommet $D$ tel que $O$ soit aussi le milieu de $[BD]$ : tracer la demi-droite de $B$ vers $O$ et prolonger au-delà de $O$ de la même distance $BO$ .
4
Relier les quatre sommets $A$ , $B$ , $C$ , $D$ dans l'ordre pour former le parallélogramme, et vérifier visuellement que les côtés opposés semblent parallèles.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Construire le parallélogramme $ABCD$ sachant que $A(0\,;\,0)$ , $B(4\,;\,0)$ , $C(5\,;\,2)$ . Trouver $D$ .

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[0,0],[4,0],[5,2],[1,2]],"color":"blue","label":"ABCD"},{"kind":"segment","points":[[0,0],[5,2]],"color":"gray"},{"kind":"segment","points":[[4,0],[1,2]],"color":"gray"}]}

Étape 1 —

Placer les trois sommets connus

A

B

C

(ou les données équivalentes) sur la feuille.

On place $A(0\,;\,0)$ , $B(4\,;\,0)$ , $C(5\,;\,2)$ sur le repère.

Étape 2 —

Trouver le centre

O

du parallélogramme :

O

est le milieu du segment

[AC]

(la diagonale reliant les sommets non consécutifs donnés). Construire

O

au compas ou à la règle graduée.

Le centre $O$ est le milieu de la diagonale $[AC]$ : $O\left(\frac{0+5}{2}\,;\,\frac{0+2}{2}\right) = O(2{,}5\,;\,1)$ .

Étape 3 —

Construire le quatrième sommet

D

tel que

O

soit aussi le milieu de

[BD]

: tracer la demi-droite de

B

vers

O

et prolonger au-delà de

O

de la même distance

BO

$O$ est aussi le milieu de $[BD]$ , donc $D\left(2 \times 2{,}5 - 4\,;\,2 \times 1 - 0\right) = D(1\,;\,2)$ .

Étape 4 —

Relier les quatre sommets

A

B

C

D

dans l'ordre pour former le parallélogramme, et vérifier visuellement que les côtés opposés semblent parallèles.

On relie $A$ , $B$ , $C$ , $D$ : le parallélogramme $ABCD$ a ses quatre sommets en $(0;0)$ , $(4;0)$ , $(5;2)$ , $(1;2)$ .

$D(1\,;\,2)$

Application guidée

On donne $A(1\,;\,1)$ , $B(5\,;\,1)$ , $C(6\,;\,4)$ . Construire le parallélogramme $ABCD$ et trouver $D$ .

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[1,1],[5,1],[6,4],[2,4]],"color":"blue","label":"ABCD"},{"kind":"segment","points":[[1,1],[6,4]],"color":"gray"},{"kind":"segment","points":[[5,1],[2,4]],"color":"gray"}]}

Application autonome 1

Construire le parallélogramme $ABCD$ tel que $A$ , $B$ , $C$ soient connus avec $AB = 6\,\mathrm{cm}$ , $BC = 4\,\mathrm{cm}$ et $\angle ABC = 60°$ . Décrire la construction de $D$ .

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[0,0],[6,0],[8,3.46],[2,3.46]],"color":"blue","label":"ABCD"},{"kind":"segment","points":[[0,0],[8,3.46]],"color":"gray"},{"kind":"segment","points":[[6,0],[2,3.46]],"color":"gray"}]}

Application autonome 2

On donne $A(0\,;\,0)$ , $C(6\,;\,4)$ et $O(3\,;\,2)$ milieu des diagonales. Sachant que $B(5\,;\,0)$ , trouver $D$ .

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[0,0],[5,0],[6,4],[1,4]],"color":"blue","label":"ABCD"},{"kind":"segment","points":[[0,0],[6,4]],"color":"gray"},{"kind":"segment","points":[[5,0],[1,4]],"color":"gray"}]}

Application autonome 3

Construire le parallélogramme $RSTU$ avec $R(0\,;\,0)$ , $S(3\,;\,0)$ , $T(4\,;\,2)$ . Trouver $U$ .

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[0,0],[3,0],[4,2],[1,2]],"color":"blue","label":"RSTU"},{"kind":"segment","points":[[0,0],[4,2]],"color":"gray"},{"kind":"segment","points":[[3,0],[1,2]],"color":"gray"}]}

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