Comment démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut 180° ?

En traçant par un sommet la parallèle au côté opposé, puis en utilisant l'égalité des angles alternes-internes pour montrer que les trois angles se reconstituent en un angle plat

L'objectif

Démontrer géométriquement que la somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180°.

Le principe

Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux.

La méthode

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Soit le triangle ABC. Tracer par le sommet A la droite $(d)$ parallèle à la droite $(BC)$ .
2
Les droites $(d)$ et $(BC)$ sont parallèles et coupées par la sécante $(AB)$ : les angles alternes-internes sont égaux, donc l'angle formé entre $(d)$ et $AB$ (du côté de B) est égal à $\widehat{B}$ .
Comment identifier des angles alternes-internes ou correspondants dans une figure ?Voir
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De même, $(d)$ et $(BC)$ sont coupées par la sécante $(AC)$ : l'angle formé entre $(d)$ et $AC$ (du côté de C) est égal à $\widehat{C}$ .
Comment identifier des angles alternes-internes ou correspondants dans une figure ?Voir
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Les trois angles $\widehat{B}$ , $\widehat{A}$ et $\widehat{C}$ sont adjacents et forment ensemble un angle plat sur la droite $(d)$ , donc leur somme est $180°$ : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$ .

Difficulté croissante de 1 à 5

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