Comment trouver les coordonnées du… : En utilisant la propriété des diagonales qui se… — 5e | MetMat

Comment trouver les coordonnées du quatrième sommet d'un parallélogramme ?

En utilisant la propriété des diagonales qui se coupent en leur milieu : calculer le milieu de la diagonale connue, puis déduire le quatrième sommet symétrique au sommet opposé par rapport à ce milieu

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Le parallélogramme $ABCD$ a pour sommets $A(1 ; 1)$ , $B(4 ; 1)$ et $C(5 ; 3)$ . Trouver les coordonnées de $D$ .

La méthode

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Identifier les deux diagonales du parallélogramme. La diagonale dont on connaît les deux extrémités permet de calculer le milieu $I$ : $x_I = \frac{x_1 + x_2}{2}$ et $y_I = \frac{y_1 + y_2}{2}$ .
Comment lire les coordonnées d'un point dans un repère orthogonal ?Voir
2
Utiliser le fait que $I$ est aussi le milieu de l'autre diagonale. Si le sommet manquant est $D$ et que $B$ est connu, on a : $x_D = 2 x_I - x_B$ et $y_D = 2 y_I - y_B$ .
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Vérifier le résultat en s'assurant que les côtés opposés du parallélogramme sont bien parallèles et de même longueur (ou en retrouvant le milieu de l'autre diagonale).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Le parallélogramme $ABCD$ a pour sommets $A(1 ; 1)$ , $B(4 ; 1)$ et $C(5 ; 3)$ . Trouver les coordonnées de $D$ .

Les diagonales sont $[AC]$ et $[BD]$ . Milieu $I$ de $[AC]$ : $x_I = \frac{1+5}{2} = 3$ et $y_I = \frac{1+3}{2} = 2$ , donc $I(3 ; 2)$ .

$I$ est aussi le milieu de $[BD]$ , avec $B(4 ; 1)$ : $x_D = 2 \times 3 - 4 = 2$ et $y_D = 2 \times 2 - 1 = 3$ .

On vérifie : milieu de $[BD]$ avec $D(2 ; 3)$ : $\frac{4+2}{2} = 3$ et $\frac{1+3}{2} = 2$ — c'est bien $I(3;2)$ . Correct.

$D(2 ; 3)$

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