Comment trouver les coordonnées du quatrième sommet d'un parallélogramme ? | MetMat

Comment trouver les coordonnées du quatrième sommet d'un parallélogramme ?

En utilisant la propriété des diagonales qui se coupent en leur milieu : calculer le milieu de la diagonale connue, puis déduire le quatrième sommet symétrique au sommet opposé par rapport à ce milieu

Trouver les coordonnées du quatrième sommet d'un parallélogramme connaissant les trois autres.

L'objectif

Trouver les coordonnées du quatrième sommet d'un parallélogramme connaissant les trois autres.

Le principe

Dans un parallélogramme $ABCD$ , les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu $I$ : $x_I = \frac{x_A + x_C}{2}$ et $y_I = \frac{y_A + y_C}{2}$ . On en déduit $D$ symétrique de $B$ par rapport à $I$ .

La méthode

1
Identifier les deux diagonales du parallélogramme. La diagonale dont on connaît les deux extrémités permet de calculer le milieu $I$ : $x_I = \frac{x_1 + x_2}{2}$ et $y_I = \frac{y_1 + y_2}{2}$ .
Comment lire les coordonnées d'un point dans un repère orthogonal ?Voir
2
Utiliser le fait que $I$ est aussi le milieu de l'autre diagonale. Si le sommet manquant est $D$ et que $B$ est connu, on a : $x_D = 2 x_I - x_B$ et $y_D = 2 y_I - y_B$ .
3
Vérifier le résultat en s'assurant que les côtés opposés du parallélogramme sont bien parallèles et de même longueur (ou en retrouvant le milieu de l'autre diagonale).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Le parallélogramme $ABCD$ a pour sommets $A(1 ; 1)$ , $B(4 ; 1)$ et $C(5 ; 3)$ . Trouver les coordonnées de $D$ .

Étape 1 —

Identifier les deux diagonales du parallélogramme. La diagonale dont on connaît les deux extrémités permet de calculer le milieu

I

x_I = \frac{x_1 + x_2}{2}

y_I = \frac{y_1 + y_2}{2}

Les diagonales sont $[AC]$ et $[BD]$ . Milieu $I$ de $[AC]$ : $x_I = \frac{1+5}{2} = 3$ et $y_I = \frac{1+3}{2} = 2$ , donc $I(3 ; 2)$ .

Étape 2 —

Utiliser le fait que

I

est aussi le milieu de l'autre diagonale. Si le sommet manquant est

D

et que

B

est connu, on a :

x_D = 2 x_I - x_B

y_D = 2 y_I - y_B

$I$ est aussi le milieu de $[BD]$ , avec $B(4 ; 1)$ : $x_D = 2 \times 3 - 4 = 2$ et $y_D = 2 \times 2 - 1 = 3$ .

Étape 3 —

Vérifier le résultat en s'assurant que les côtés opposés du parallélogramme sont bien parallèles et de même longueur (ou en retrouvant le milieu de l'autre diagonale).

On vérifie : milieu de $[BD]$ avec $D(2 ; 3)$ : $\frac{4+2}{2} = 3$ et $\frac{1+3}{2} = 2$ — c'est bien $I(3;2)$ . Correct.

$D(2 ; 3)$

Application guidée

Le parallélogramme $ABCD$ a pour sommets $A(-2 ; 0)$ , $B(2 ; 0)$ et $C(3 ; 2)$ . Trouver les coordonnées de $D$ .

Application autonome 1

Le parallélogramme $ABCD$ a pour sommets $A(0 ; 0)$ , $B(3 ; -1)$ et $C(1 ; -3)$ . Trouver les coordonnées de $D$ .

Application autonome 2

Le parallélogramme $ABCD$ a pour sommets $A(-3 ; 1)$ , $B(1 ; -2)$ et $C(4 ; 1)$ . Trouver les coordonnées de $D$ .

Application autonome 3

Le parallélogramme $ABCD$ a pour sommets $A(2 ; -1)$ , $B(-1 ; -3)$ et $C(-3 ; 2)$ . Trouver les coordonnées de $D$ .

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