En montrant que deux angles alternes-internes (ou correspondants) sont égaux, puis en concluant par la propriété caractéristique du parallélisme

Rédiger une démonstration complète prouvant que deux droites sont parallèles à l'aide des angles.

L'objectif

Rédiger une démonstration complète prouvant que deux droites sont parallèles à l'aide des angles.

Le principe

Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux (ou des angles correspondants égaux), alors ces deux droites sont parallèles.

La méthode

1
Identifier la sécante et les deux droites dont on veut prouver le parallélisme.
2
Repérer une paire d'angles alternes-internes (ou correspondants) formée par la sécante avec les deux droites, et les nommer avec trois lettres.
Comment identifier des angles alternes-internes ou correspondants dans une figure ?Voir
3
Prouver (ou utiliser les données) que ces deux angles sont égaux, en indiquant leur mesure ou la raison de leur égalité.
4
Conclure en citant la propriété : « Les angles alternes-internes (ou correspondants) $\widehat{ABC}$ et $\widehat{DEF}$ sont égaux, donc les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles. »

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Exercice d'exemple

La sécante $(s)$ coupe la droite $(d_1)$ en $A$ et la droite $(d_2)$ en $B$ . On sait que $\widehat{MAB} = \widehat{ABN} = 55°$ , où $M$ est sur $(d_1)$ et $N$ est sur $(d_2)$ . Démontre que $(d_1) \parallel (d_2)$ .

Étape 1 —

Identifier la sécante et les deux droites dont on veut prouver le parallélisme.

La sécante est $(s)$ , les deux droites sont $(d_1)$ et $(d_2)$ , coupées en $A$ et $B$ .

Étape 2 —

Repérer une paire d'angles alternes-internes (ou correspondants) formée par la sécante avec les deux droites, et les nommer avec trois lettres.

$\widehat{MAB}$ est intérieur en $A$ (côté gauche de $(s)$ ) et $\widehat{ABN}$ est intérieur en $B$ (côté droit de $(s)$ ) : ce sont des angles alternes-internes.

Étape 3 —

Prouver (ou utiliser les données) que ces deux angles sont égaux, en indiquant leur mesure ou la raison de leur égalité.

D'après les données, $\widehat{MAB} = \widehat{ABN} = 55°$ , donc ces deux angles sont égaux.

Étape 4 —

Conclure en citant la propriété : « Les angles alternes-internes (ou correspondants)

\widehat{ABC}

\widehat{DEF}

sont égaux, donc les droites

(d_1)

(d_2)

sont parallèles. »

Les angles alternes-internes $\widehat{MAB}$ et $\widehat{ABN}$ sont égaux, donc $(d_1) \parallel (d_2)$ .

$(d_1) \parallel (d_2)$ car les angles alternes-internes $\widehat{MAB}$ et $\widehat{ABN}$ sont égaux ( $55°$ ).

Application guidée

La sécante $(t)$ coupe $(\Delta_1)$ en $C$ et $(\Delta_2)$ en $D$ . On mesure $\widehat{ECD} = 72°$ (intérieur gauche en $C$ ) et $\widehat{CDF} = 72°$ (intérieur droit en $D$ ). Démontre que $(\Delta_1) \parallel (\Delta_2)$ .

Application autonome 1

La sécante $(u)$ coupe $(r)$ en $P$ et $(q)$ en $Q$ . On sait que $\widehat{APQ} = 110°$ (extérieur en $P$ , côté gauche) et $\widehat{PQB} = 110°$ (intérieur en $Q$ , côté gauche). $A$ est sur $(r)$ , $B$ est sur $(q)$ . Démontre que $(r) \parallel (q)$ .

Application autonome 2

Dans un quadrilatère $ABCD$ , la diagonale $[AC]$ sert de sécante aux droites $(AB)$ et $(DC)$ . On mesure $\widehat{BAC} = 38°$ et $\widehat{DCA} = 38°$ . Démontre que $(AB) \parallel (DC)$ .

Application autonome 3

La sécante $(s)$ coupe la droite $(\ell_1)$ en $X$ et la droite $(\ell_2)$ en $Y$ . On sait que $\widehat{AXY} = 125°$ (côté gauche, extérieur en $X$ ) et $\widehat{XYB} = 125°$ (côté gauche, extérieur en $Y$ ). Démontre que $(\ell_1) \parallel (\ell_2)$ .

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