Comment montrer la convergence… : En majorant 0 ≤ f ≤ g avec int g… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment montrer la convergence d'une intégrale de fonction positive par majoration, $o$ ou $\sim$ ?

En majorant $0 \leq f \leq g$ avec $\int g$ convergente

Établir la convergence d'une intégrale d'une fonction positive en la dominant par une fonction positive d'intégrale convergente.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + 1}$ converge.

L'objectif

Établir la convergence d'une intégrale d'une fonction positive en la dominant par une fonction positive d'intégrale convergente.

Le principe

Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a, +\infty[$ avec $0 \leq f(t) \leq g(t)$ pour tout $t \geq a$ et si $\int_a^{+\infty} g(t)\,\mathrm{d}t$ converge, alors $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ converge.

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue et positive sur l'intervalle $[a, +\infty[$ étudié.
2
Je cherche une fonction $g$ continue et positive vérifiant $f(t) \leq g(t)$ pour tout $t \geq a$ , telle que $\int_a^{+\infty} g(t)\,\mathrm{d}t$ soit une intégrale de référence convergente.
3
J'applique le théorème de comparaison des fonctions positives : $\int_a^{+\infty} g$ converge et $0 \leq f \leq g$ donc $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ converge.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + 1}$ converge.

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue et positive sur l'intervalle

[a, +\infty[

étudié.

La fonction $f \colon t \mapsto \frac{1}{t^2 + 1}$ est continue et strictement positive sur $[1, +\infty[$ .

Étape 2 —

Je cherche une fonction

g

continue et positive vérifiant

f(t) \leq g(t)

pour tout

t \geq a

, telle que

\int_a^{+\infty} g(t)\,\mathrm{d}t

soit une intégrale de référence convergente.

Pour tout $t \geq 1$ , $t^2 + 1 \geq t^2$ , donc $0 \leq \frac{1}{t^2 + 1} \leq \frac{1}{t^2}$ ; or $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ est une intégrale de Riemann avec $\alpha = 2 > 1$ , donc converge.

Étape 3 —

J'applique le théorème de comparaison des fonctions positives :

\int_a^{+\infty} g

converge et

0 \leq f \leq g

donc

\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t

converge.

Par le théorème de majoration des fonctions positives, $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + 1}$ converge.

L'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + 1}$ converge.

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Comment montrer la convergence d'une intégrale de fonction positive par majoration, ooo ou ∼\sim∼ ?

En majorant 0≤f≤g0 \leq f \leq g0≤f≤g avec ∫g\int g∫g convergente

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment montrer la convergence d'une intégrale de fonction positive par majoration, $o$ ou $\sim$ ?

En majorant $0 \leq f \leq g$ avec $\int g$ convergente