Comment montrer la convergence… : En utilisant f = o(g) ou f sim g avec g… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment montrer la convergence d'une intégrale de fonction positive par majoration, $o$ ou $\sim$ ?

En utilisant $f = o(g)$ ou $f \sim g$ avec $g$ positive et $\int g$ convergente

Conclure sur la nature de $\int f$ en comparant asymptotiquement $f$ à une fonction $g$ d'intégrale connue.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la convergence de $\int_1^{+\infty} \frac{t}{t^3 + 2t + 1}\,\mathrm{d}t$ .

L'objectif

Conclure sur la nature de $\int f$ en comparant asymptotiquement $f$ à une fonction $g$ d'intégrale connue.

Le principe

Si $f, g$ continues positives sur $[a, +\infty[$ et $f \underset{+\infty}{\sim} g$ (resp. $f \underset{+\infty}{=} o(g)$ ), alors $\int_a^{+\infty} f$ et $\int_a^{+\infty} g$ sont de même nature (resp. la convergence de $\int g$ entraîne celle de $\int f$ ).

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue et positive (au moins au voisinage de $+\infty$ ) sur l'intervalle considéré.
2
Je cherche une fonction $g$ positive telle que $f \underset{+\infty}{\sim} g$ ou $f \underset{+\infty}{=} o(g)$ , en privilégiant $g(t) = \frac{1}{t^\alpha}$ ou $g(t) = e^{-t}$ .
3
J'applique le théorème de comparaison : si $\int_a^{+\infty} g$ converge, alors $\int_a^{+\infty} f$ converge également.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la convergence de $\int_1^{+\infty} \frac{t}{t^3 + 2t + 1}\,\mathrm{d}t$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue et positive (au moins au voisinage de

+\infty

) sur l'intervalle considéré.

La fonction $f \colon t \mapsto \frac{t}{t^3 + 2t + 1}$ est continue et strictement positive sur $[1, +\infty[$ .

Étape 2 —

Je cherche une fonction

g

positive telle que

f \underset{+\infty}{\sim} g

f \underset{+\infty}{=} o(g)

, en privilégiant

g(t) = \frac{1}{t^\alpha}

g(t) = e^{-t}

Quand $t \to +\infty$ , $t^3 + 2t + 1 \sim t^3$ , donc $f(t) \sim \frac{t}{t^3} = \frac{1}{t^2}$ ; la fonction $g \colon t \mapsto \frac{1}{t^2}$ est positive et $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ converge ( $\alpha = 2 > 1$ ).

Étape 3 —

J'applique le théorème de comparaison : si

\int_a^{+\infty} g

converge, alors

\int_a^{+\infty} f

converge également.

Par équivalence de fonctions positives, $\int_1^{+\infty} \frac{t}{t^3 + 2t + 1}\,\mathrm{d}t$ converge.

L'intégrale converge.

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Comment montrer la convergence d'une intégrale de fonction positive par majoration, ooo ou ∼\sim∼ ?

En utilisant f=o(g)f = o(g)f=o(g) ou f∼gf \sim gf∼g avec ggg positive et ∫g\int g∫g convergente

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment montrer la convergence d'une intégrale de fonction positive par majoration, $o$ ou $\sim$ ?

En utilisant $f = o(g)$ ou $f \sim g$ avec $g$ positive et $\int g$ convergente