Comment écrire la matrice de… : En écrivant en colonnes les coordonnées… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment écrire la matrice de passage $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ ?

En écrivant en colonnes les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans la base $\mathcal{B}$

Construire la matrice de passage $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ d'une base $\mathcal{B}$ vers une base $\mathcal{B}'$ d'un même espace $E$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^2$ , soit $\mathcal{B}$ la base canonique et $\mathcal{B}' = (u_1, u_2)$ avec $u_1 = (1, 1)$ et $u_2 = (1, -1)$ . Écrire $P_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}$ .

L'objectif

Construire la matrice de passage $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ d'une base $\mathcal{B}$ vers une base $\mathcal{B}'$ d'un même espace $E$ .

Le principe

$P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ est la matrice carrée dont la $j$ -ème colonne contient les coordonnées du $j$ -ème vecteur de $\mathcal{B}'$ exprimé dans la base $\mathcal{B}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ et $\mathcal{B}' = (e'_1, \ldots, e'_n)$ sont deux bases du même espace $E$ .
2
Pour chaque $j$ , j'exprime $e'_j = \sum_{i=1}^{n} p_{ij} e_i$ , c'est-à-dire que je décompose $e'_j$ dans $\mathcal{B}$ .
3
Je place le vecteur colonne $(p_{1j}, \ldots, p_{nj})$ comme $j$ -ème colonne de la matrice $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ .
4
Je vérifie que $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ est inversible (toujours, car $\mathcal{B}'$ est une base) et j'énonce $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^2$ , soit $\mathcal{B}$ la base canonique et $\mathcal{B}' = (u_1, u_2)$ avec $u_1 = (1, 1)$ et $u_2 = (1, -1)$ . Écrire $P_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)

\mathcal{B}' = (e'_1, \ldots, e'_n)

sont deux bases du même espace

E

$\mathcal{B} = ((1,0), (0,1))$ et $\mathcal{B}' = ((1,1), (1,-1))$ sont deux bases de $\mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Pour chaque

j

, j'exprime

e'_j = \sum_{i=1}^{n} p_{ij} e_i

, c'est-à-dire que je décompose

e'_j

dans

\mathcal{B}

$u_1 = (1, 1) = 1 \cdot e_1 + 1 \cdot e_2$ et $u_2 = (1, -1) = 1 \cdot e_1 + (-1) \cdot e_2$ .

Étape 3 —

Je place le vecteur colonne

(p_{1j}, \ldots, p_{nj})

comme

j

-ème colonne de la matrice

P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}

On place les colonnes : $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

Je vérifie que

P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}

est inversible (toujours, car

\mathcal{B}'

est une base) et j'énonce

P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})

$\det(P) = -1 - 1 = -2 \neq 0$ , donc $P$ est inversible : $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$ .

$P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

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Comment écrire la matrice de passage PB,B′P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}PB,B′​ ?

En écrivant en colonnes les coordonnées des vecteurs de B′\mathcal{B}'B′ dans la base B\mathcal{B}B

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment écrire la matrice de passage $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ ?

En écrivant en colonnes les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans la base $\mathcal{B}$