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Comment utiliser la stabilité des lois binomiales et de Poisson par somme indépendante ?

En reconnaissant que X1+X2∼B(n1+n2,p)X_1+X_2\sim\mathcal{B}(n_1+n_2,p) ou ∼P(λ1+λ2)\sim\mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2) pour des lois indépendantes

L'objectif

Identifier directement la loi d'une somme de variables binomiales (de même paramètre pp) ou de Poisson indépendantes.

Le principe

Si X1∼B(n1,p)X_1\sim\mathcal{B}(n_1,p) et X2∼B(n2,p)X_2\sim\mathcal{B}(n_2,p) sont indépendantes (même pp), alors X1+X2∼B(n1+n2,p)X_1+X_2\sim\mathcal{B}(n_1+n_2,p). Si X1∼P(λ1)X_1\sim\mathcal{P}(\lambda_1) et X2∼P(λ2)X_2\sim\mathcal{P}(\lambda_2) sont indépendantes, alors X1+X2∼P(λ1+λ2)X_1+X_2\sim\mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2). Ces résultats se généralisent à nn variables par récurrence.

La méthode
  1. 1
    J'identifie la loi de chaque variable et je vérifie l'hypothèse d'indépendance (mutuelle pour n≥3n\geq 3) ; pour la binomiale, je vérifie en plus que toutes les lois ont le même paramètre pp.
  2. 2
    J'applique le théorème de stabilité : pour la binomiale, ∑Xi∼B ⁣(∑ni, p)\sum X_i\sim\mathcal{B}\!\left(\sum n_i,\,p\right) ; pour la Poisson, ∑Xi∼P ⁣(∑λi)\sum X_i\sim\mathcal{P}\!\left(\sum \lambda_i\right).
  3. 3
    J'utilise la loi obtenue pour calculer ce qui est demandé : espérance, variance, probabilités P([S=k])P([S=k]), etc.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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