Comment étudier une suite… : En diagonalisant A et en déduisant… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment étudier une suite récurrente linéaire matricielle $X_{n+1} = A X_n$ ?

En diagonalisant $A$ et en déduisant l'expression $X_n = A^n X_0$

Donner une expression explicite des termes d'une suite vectorielle $(X_n)$ vérifiant $X_{n+1} = A X_n$ , et étudier son comportement.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(u_n)$ , $(v_n)$ définies par $u_0 = 1$ , $v_0 = 0$ , $u_{n+1} = u_n + 2 v_n$ , $v_{n+1} = 2 u_n + v_n$ . Donner une expression de $u_n$ et $v_n$ .

L'objectif

Donner une expression explicite des termes d'une suite vectorielle $(X_n)$ vérifiant $X_{n+1} = A X_n$ , et étudier son comportement.

Le principe

Par récurrence, $X_n = A^n X_0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ ; si $A = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale, alors $A^n = P D^n P^{-1}$ et l'on peut décomposer $X_0$ sur la base de vecteurs propres pour obtenir $X_n$ explicitement.

La méthode

1
Je traduis le problème sous forme matricielle $X_{n+1} = A X_n$ , en définissant $X_n$ et $A$ , puis j'établis $X_n = A^n X_0$ par récurrence.
2
Je diagonalise $A$ : je trouve $P, D$ inversible/diagonale telles que $A = P D P^{-1}$ et je calcule $A^n = P D^n P^{-1}$ .
Comment diagonaliser explicitement une matrice ($D = P^{-1} A P$) ?Voir
3
Je calcule $X_n = A^n X_0$ explicitement (en multipliant ou en passant par $P^{-1} X_0$ pour décomposer $X_0$ sur la base de vecteurs propres).
4
Je conclus en donnant l'expression de chaque composante de $X_n$ en fonction de $n$ , et éventuellement en étudiant la limite quand $n \to +\infty$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ , $(v_n)$ définies par $u_0 = 1$ , $v_0 = 0$ , $u_{n+1} = u_n + 2 v_n$ , $v_{n+1} = 2 u_n + v_n$ . Donner une expression de $u_n$ et $v_n$ .

Étape 1 —

Je traduis le problème sous forme matricielle

X_{n+1} = A X_n

, en définissant

X_n

A

, puis j'établis

X_n = A^n X_0

par récurrence.

On pose $X_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ ; alors $X_{n+1} = A X_n$ et par récurrence $X_n = A^n X_0$ avec $X_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je diagonalise

A

: je trouve

P, D

inversible/diagonale telles que

A = P D P^{-1}

et je calcule

A^n = P D^n P^{-1}

On a vu $A = P D P^{-1}$ avec $D = \mathrm{diag}(-1, 3)$ , $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ , et $A^n = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n + (-1)^n & 3^n - (-1)^n \\ 3^n - (-1)^n & 3^n + (-1)^n \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je calcule

X_n = A^n X_0

explicitement (en multipliant ou en passant par

P^{-1} X_0

pour décomposer

X_0

sur la base de vecteurs propres).

$X_n = A^n X_0 = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n + (-1)^n \\ 3^n - (-1)^n \end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

Je conclus en donnant l'expression de chaque composante de

X_n

en fonction de

n

, et éventuellement en étudiant la limite quand

n \to +\infty

$u_n = \dfrac{3^n + (-1)^n}{2}$ et $v_n = \dfrac{3^n - (-1)^n}{2}$ , et $u_n, v_n \to +\infty$ .

$u_n = \dfrac{3^n + (-1)^n}{2}$ , $v_n = \dfrac{3^n - (-1)^n}{2}$ .

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