Comment calculer la variance d'une somme $V(X + Y)$ ?

En appliquant $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\, \mathrm{Cov}(X, Y)$

L'objectif

Calculer la variance de $X + Y$ pour deux v.a. discrètes admettant un moment d'ordre $2$ .

Le principe

Si $X$ et $Y$ admettent un moment d'ordre $2$ , alors $X + Y$ aussi et $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\, \mathrm{Cov}(X, Y)$ ; en particulier, si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X$ et $Y$ admettent un moment d'ordre $2$ (toujours vrai si $X(\Omega)$ et $Y(\Omega)$ sont finis).
2
Je calcule $V(X)$ et $V(Y)$ via Koenig-Huygens ou via la loi reconnue (Bernoulli, binomiale, Poisson…).
3
Je calcule $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X) E(Y)$ ; si $X$ et $Y$ sont indépendantes, je justifie que $\mathrm{Cov}(X, Y) = 0$ .
Comment calculer $\mathrm{Cov}(X, Y)$ et $\rho(X, Y)$ ?Voir
4
J'applique $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\, \mathrm{Cov}(X, Y)$ et je conclus.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En appliquant V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2 Cov(X,Y)V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\, \mathrm{Cov}(X, Y)V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)

Exemple corrigé

En appliquant $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\, \mathrm{Cov}(X, Y)$