Comment appliquer l'approximation $\\mathcal{B}(n, \\lambda/n) \\to \\mathcal{P}(\\lambda)$ ?

En vérifiant que $n$ est grand et $\\lambda/n$ petit, puis en remplaçant la binomiale par une Poisson de paramètre $\\lambda$

L'objectif

Approcher numériquement $P([X = k])$ pour $X \\sim \\mathcal{B}(n, p)$ par une loi de Poisson lorsque $n$ est grand et $p$ petit.

Le principe

Si $X_n \\sim \\mathcal{B}(n, \\lambda/n)$ avec $\\lambda > 0$ fixé, alors $X_n \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{L}} \\mathcal{P}(\\lambda)$ ; en pratique, pour $n$ grand et $p$ petit (typiquement $n \\geq 30$ et $p \\leq 0{,}1$ ), on approche $\\mathcal{B}(n, p)$ par $\\mathcal{P}(np)$ .

La méthode

1
J'identifie $X \\sim \\mathcal{B}(n, p)$ et je vérifie que $n$ est grand et $p$ petit (ordre de grandeur $n \\geq 30$ , $p \\leq 0{,}1$ , $np$ modéré).
2
Je pose $\\lambda = n p$ et j'approche la loi de $X$ par $\\mathcal{P}(\\lambda)$ .
3
Je calcule la probabilité demandée avec la loi de Poisson : $P([X = k]) \\approx e^{-\\lambda} \\dfrac{\\lambda^k}{k!}$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En vérifiant que nnn est grand et lambda/n\\lambda/nlambda/n petit, puis en remplaçant la binomiale par une Poisson de paramètre lambda\\lambdalambda

Exemple corrigé

En vérifiant que $n$ est grand et $\\lambda/n$ petit, puis en remplaçant la binomiale par une Poisson de paramètre $\\lambda$