En calculant $P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = \dfrac{P([X = x_i] \cap [Y = y_j])}{P([Y = y_j])}$

Déterminer la loi de $X$ conditionnellement à l'événement $[Y = y_j]$ pour une valeur fixée $y_j \in Y(\Omega)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La loi conjointe de $(X, Y)$ est donnée par $P([X = 0] \cap [Y = 0]) = \tfrac{1}{8}$ , $P([X = 0] \cap [Y = 1]) = \tfrac{1}{4}$ , $P([X = 1] \cap [Y = 0]) = \tfrac{1}{4}$ , $P([X = 1] \cap [Y = 1]) = \tfrac{3}{8}$ . Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y = 1]$ .

L'objectif

Déterminer la loi de $X$ conditionnellement à l'événement $[Y = y_j]$ pour une valeur fixée $y_j \in Y(\Omega)$ .

Le principe

Sous l'hypothèse $P([Y = y_j]) > 0$ , la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y = y_j]$ est définie par $P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = \dfrac{P([X = x_i] \cap [Y = y_j])}{P([Y = y_j])}$ pour tout $x_i \in X(\Omega)$ .

La méthode

1
Je fixe $y_j \in Y(\Omega)$ et je vérifie que $P([Y = y_j]) > 0$ (sinon le conditionnement n'a pas de sens).
2
Je calcule $P([Y = y_j])$ comme somme marginale : $P([Y = y_j]) = \sum_{x_i \in X(\Omega)} P([X = x_i] \cap [Y = y_j])$ .
Comment déterminer les lois marginales à partir de la loi conjointe ?Voir
3
Pour chaque $x_i \in X(\Omega)$ , je calcule $P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = \dfrac{P([X = x_i] \cap [Y = y_j])}{P([Y = y_j])}$ .
4
Je vérifie que la loi conditionnelle est bien une loi de probabilité : $\sum_{x_i} P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = 1$ , et je reconnais éventuellement une loi usuelle.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je fixe

y_j \in Y(\Omega)

et je vérifie que

P([Y = y_j]) > 0

(sinon le conditionnement n'a pas de sens).

On fixe $y = 1$ et on vérifie $P([Y = 1]) > 0$ .

Étape 2 —

Je calcule

P([Y = y_j])

comme somme marginale :

P([Y = y_j]) = \sum_{x_i \in X(\Omega)} P([X = x_i] \cap [Y = y_j])

On calcule $P([Y = 1]) = \tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{8} = \tfrac{5}{8} > 0$ .

Étape 3 —

Pour chaque

x_i \in X(\Omega)

, je calcule

P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = \dfrac{P([X = x_i] \cap [Y = y_j])}{P([Y = y_j])}

On obtient $P_{[Y = 1]}([X = 0]) = \dfrac{1/4}{5/8} = \tfrac{2}{5}$ et $P_{[Y = 1]}([X = 1]) = \dfrac{3/8}{5/8} = \tfrac{3}{5}$ .

Étape 4 —

Je vérifie que la loi conditionnelle est bien une loi de probabilité :

\sum_{x_i} P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = 1

, et je reconnais éventuellement une loi usuelle.

On vérifie $\tfrac{2}{5} + \tfrac{3}{5} = 1$ : la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y = 1]$ est une Bernoulli $\mathcal{B}\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)$ .

$P_{[Y = 1]}([X = 0]) = \dfrac{2}{5}$ et $P_{[Y = 1]}([X = 1]) = \dfrac{3}{5}$ .

Application guidée

On lance deux dés équilibrés. $X$ est le résultat du premier dé et $Y = X + Z$ où $Z$ est le résultat du second dé. Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y = 7]$ .

Application autonome 1

Soient $X$ et $Y$ à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ avec $P([X = i] \cap [Y = j]) = \dfrac{1}{2^{i + j}}$ . Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y = j]$ pour $j \geq 1$ .

Application autonome 2

La loi conjointe de $(X, Y)$ est donnée par $P([X = i] \cap [Y = j]) = \dfrac{i + j}{30}$ pour $(i, j) \in \{1, 2\} \times \{1, 2, 3\}$ . Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y = 2]$ .

Application autonome 3

Soient $X$ et $Y$ indépendantes suivant $\mathcal{B}(3, \tfrac{1}{2})$ et $\mathcal{B}(4, \tfrac{1}{2})$ respectivement. Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y = 2]$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En calculant P[Y=yj]([X=xi])=P([X=xi]∩[Y=yj])P([Y=yj])P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = \dfrac{P([X = x_i] \cap [Y = y_j])}{P([Y = y_j])}P[Y=yj​]​([X=xi​])=P([Y=yj​])P([X=xi​]∩[Y=yj​])​

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = \dfrac{P([X = x_i] \cap [Y = y_j])}{P([Y = y_j])}$