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Comment déterminer la loi conditionnelle de XX sachant [Y=y][Y = y] ?

En calculant P[Y=yj]([X=xi])=P([X=xi]∩[Y=yj])P([Y=yj])P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = \dfrac{P([X = x_i] \cap [Y = y_j])}{P([Y = y_j])}

L'objectif

Déterminer la loi de XX conditionnellement à l'événement [Y=yj][Y = y_j] pour une valeur fixée yj∈Y(Ω)y_j \in Y(\Omega).

Le principe

Sous l'hypothèse P([Y=yj])>0P([Y = y_j]) > 0, la loi conditionnelle de XX sachant [Y=yj][Y = y_j] est définie par P[Y=yj]([X=xi])=P([X=xi]∩[Y=yj])P([Y=yj])P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = \dfrac{P([X = x_i] \cap [Y = y_j])}{P([Y = y_j])} pour tout xi∈X(Ω)x_i \in X(\Omega).

La méthode
  1. 1
    Je fixe yj∈Y(Ω)y_j \in Y(\Omega) et je vérifie que P([Y=yj])>0P([Y = y_j]) > 0 (sinon le conditionnement n'a pas de sens).
  2. 2
    Je calcule P([Y=yj])P([Y = y_j]) comme somme marginale : P([Y=yj])=∑xi∈X(Ω)P([X=xi]∩[Y=yj])P([Y = y_j]) = \sum_{x_i \in X(\Omega)} P([X = x_i] \cap [Y = y_j]).
    Voir
  3. 3
    Pour chaque xi∈X(Ω)x_i \in X(\Omega), je calcule P[Y=yj]([X=xi])=P([X=xi]∩[Y=yj])P([Y=yj])P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = \dfrac{P([X = x_i] \cap [Y = y_j])}{P([Y = y_j])}.
  4. 4
    Je vérifie que la loi conditionnelle est bien une loi de probabilité : ∑xiP[Y=yj]([X=xi])=1\sum_{x_i} P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = 1, et je reconnais éventuellement une loi usuelle.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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