Comment utiliser le théorème du rang ?

En posant la relation $\dim \ker f + \mathrm{rg}\, f = \dim E$ pour déduire l'une des dimensions

Déduire la dimension du noyau, du rang ou de l'espace de départ à partir des deux autres données.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ une application linéaire de rang $2$ . Déterminer $\dim \ker(f)$ .

L'objectif

Déduire la dimension du noyau, du rang ou de l'espace de départ à partir des deux autres données.

Le principe

Théorème du rang : pour $f \colon E \to F$ linéaire avec $E$ de dimension finie, $\dim \ker(f) + \mathrm{rg}(f) = \dim E$ .

La méthode

1
Je vérifie que $E$ est de dimension finie et j'identifie $\dim E$ .
2
Je détermine la dimension connue (soit $\dim \ker(f)$ , soit $\mathrm{rg}(f)$ ) par les méthodes adaptées.
3
J'écris la relation $\dim \ker(f) + \mathrm{rg}(f) = \dim E$ et j'isole la dimension cherchée.
4
Je conclus en énonçant la dimension obtenue, et éventuellement les conséquences (injectivité, surjectivité, bijectivité).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $f \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ une application linéaire de rang $2$ . Déterminer $\dim \ker(f)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

E

est de dimension finie et j'identifie

\dim E

.

$E = \mathbb{R}^4$ est de dimension finie, $\dim E = 4$ .

Étape 2 —

Je détermine la dimension connue (soit

\dim \ker(f)

, soit

\mathrm{rg}(f)

) par les méthodes adaptées.

L'énoncé donne $\mathrm{rg}(f) = 2$ .

Étape 3 —

J'écris la relation

\dim \ker(f) + \mathrm{rg}(f) = \dim E

et j'isole la dimension cherchée.

Théorème du rang : $\dim \ker(f) = 4 - 2 = 2$ .

Étape 4 —

Je conclus en énonçant la dimension obtenue, et éventuellement les conséquences (injectivité, surjectivité, bijectivité).

Donc $\dim \ker(f) = 2$ ; $f$ n'est ni injective ( $\ker \neq \{0\}$ ) ni surjective ( $\mathrm{rg} < 3$ ).

$\dim \ker(f) = 2$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment utiliser le théorème du rang ?

En posant la relation dim⁡ker⁡f+rg f=dim⁡E\dim \ker f + \mathrm{rg}\, f = \dim Edimkerf+rgf=dimE pour déduire l'une des dimensions

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant la relation $\dim \ker f + \mathrm{rg}\, f = \dim E$ pour déduire l'une des dimensions