Comment reconnaître et utiliser la loi uniforme $\mathcal{U}([a,b])$ ? | MetMat

Comment reconnaître et utiliser la loi uniforme $\mathcal{U}([a,b])$ ?

En posant $f_X(t) = \frac{1}{b-a}\,\mathbf{1}_{[a,b]}(t)$ , $E(X) = \frac{a+b}{2}$ , $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

Modéliser un tirage « au hasard sur un intervalle » par une loi uniforme $\mathcal{U}([a,b])$ et en exploiter densité, espérance, variance et probabilités.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \sim \mathcal{U}([0,1])$ . Donner la densité de $X$ , son espérance, sa variance, et calculer $P\!\left(\tfrac{1}{4} \le X \le \tfrac{3}{4}\right)$ .

L'objectif

Modéliser un tirage « au hasard sur un intervalle » par une loi uniforme $\mathcal{U}([a,b])$ et en exploiter densité, espérance, variance et probabilités.

Le principe

Si $X \sim \mathcal{U}([a,b])$ avec $a < b$ , alors $f_X(t) = \frac{1}{b-a}\,\mathbf{1}_{[a,b]}(t)$ , $E(X) = \frac{a+b}{2}$ , $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$ et $P(c \le X \le d) = \frac{d-c}{b-a}$ pour $[c,d] \subset [a,b]$ .

La méthode

1
Je justifie que $X$ suit une loi uniforme : la situation décrit un choix au hasard, sans préférence, sur un intervalle borné $[a,b]$ , et j'écris $X \sim \mathcal{U}([a,b])$ .
2
J'écris la densité $f_X(t) = \frac{1}{b-a}\,\mathbf{1}_{[a,b]}(t)$ et je trace son graphe (rectangle de hauteur $\frac{1}{b-a}$ sur $[a,b]$ ).
3
Je calcule l'espérance $E(X) = \frac{a+b}{2}$ et la variance $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$ par les formules du cours.
4
Pour une probabilité du type $P(c \le X \le d)$ avec $[c,d] \cap [a,b] \ne \emptyset$ , j'utilise $P(c \le X \le d) = \frac{\min(d,b) - \max(c,a)}{b-a}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{U}([0,1])$ . Donner la densité de $X$ , son espérance, sa variance, et calculer $P\!\left(\tfrac{1}{4} \le X \le \tfrac{3}{4}\right)$ .

Étape 1 —

Je justifie que

X

suit une loi uniforme : la situation décrit un choix au hasard, sans préférence, sur un intervalle borné

[a,b]

, et j'écris

X \sim \mathcal{U}([a,b])

Je reconnais $X \sim \mathcal{U}([0,1])$ : tirage uniforme sur $[0,1]$ , donc $a=0$ et $b=1$ .

Étape 2 —

J'écris la densité

f_X(t) = \frac{1}{b-a}\,\mathbf{1}_{[a,b]}(t)

et je trace son graphe (rectangle de hauteur

\frac{1}{b-a}

sur

[a,b]

J'écris la densité $f_X(t) = \mathbf{1}_{[0,1]}(t)$ .

Étape 3 —

Je calcule l'espérance

E(X) = \frac{a+b}{2}

et la variance

V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}

par les formules du cours.

Je calcule $E(X) = \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$ et $V(X) = \frac{(1-0)^2}{12} = \frac{1}{12}$ .

Étape 4 —

Pour une probabilité du type

P(c \le X \le d)

avec

[c,d] \cap [a,b] \ne \emptyset

, j'utilise

P(c \le X \le d) = \frac{\min(d,b) - \max(c,a)}{b-a}

Comme $[\tfrac{1}{4}, \tfrac{3}{4}] \subset [0,1]$ , $P\!\left(\tfrac{1}{4} \le X \le \tfrac{3}{4}\right) = \frac{3/4 - 1/4}{1-0} = \frac{1}{2}$ .

$f_X(t) = \mathbf{1}_{[0,1]}(t)$ , $E(X) = \tfrac{1}{2}$ , $V(X) = \tfrac{1}{12}$ , $P\!\left(\tfrac{1}{4} \le X \le \tfrac{3}{4}\right) = \tfrac{1}{2}$ .

Application guidée

Un bus passe à un arrêt entre $7\mathrm{h}$ et $7\mathrm{h}30$ , l'instant exact $T$ étant uniformément réparti. On note $T$ le nombre de minutes après $7\mathrm{h}$ . Donner la loi, l'espérance et $P(T \ge 20)$ .

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{U}([-2, 4])$ . Calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $P(|X| \le 1)$ .

Application autonome 2

Un générateur aléatoire renvoie un nombre $X$ uniformément dans $[0, 10]$ . Donner la densité, $E(X)$ , $V(X)$ et calculer $P(X \geq 7)$ .

Application autonome 3

Soit $X \sim \mathcal{U}([3, 9])$ . Calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $P(4 \leq X \leq 6)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En posant fX(t)=1b−a 1[a,b](t)f_X(t) = \frac{1}{b-a}\,\mathbf{1}_{[a,b]}(t)fX​(t)=b−a1​1[a,b]​(t), E(X)=a+b2E(X) = \frac{a+b}{2}E(X)=2a+b​, V(X)=(b−a)212V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}V(X)=12(b−a)2​

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $f_X(t) = \frac{1}{b-a}\,\mathbf{1}_{[a,b]}(t)$ , $E(X) = \frac{a+b}{2}$ , $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$